Ableitungsregeln < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:27 Mi 16.11.2011 | | Autor: | MirjamKS |
| Aufgabe | Leiten sie ab
a.) h(x)= [mm] \wurzel{x} [/mm] * [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
b.)g(x)= [mm] \bruch{2x^2 - 3x}{2x^4} [/mm] |
Guten Morgen, ich bins nochmal...
Ich bitte bei diesen Aufgaben um Korrektur
a.) Man benötigt zuerst die Produktregel, aber auch die Quotientenregel (beim Bruch)
h'(x)= [mm] \bruch{1}{x} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{2*\wurzel{x}}) [/mm] +
[mm] \wurzel{x} [/mm] * (- [mm] \bruch{1}{x^2})
[/mm]
Man könnte es noch mehr vereinfachen, wenn man statt der Wurzel aus x - [mm] x^0,5 [/mm] hinschreibt.
Stimmt das alles so?
b.)
Es soll rauskommen: [mm] \bruch{9-4x}{2x^4}
[/mm]
Ich habe aber am Ende raus:
[mm] \bruch{-8x^5 - 30 x^4}{(2x^4)^2}
[/mm]
Also ich habe alles ausmultipliziert und die Klammern aufgelöst..
Gruß Miri
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Hallo Mirjam!
Genau Deinen Fehler wird man nur finden, wenn Du hier einzeln vorrechnest.
Auf jaden Fall könntest Du im Zähler noch ausklammern und anschließend kürzen (was aber auch nicht das gewünschte Ergebnis liefert).
Alternativ zur  Quotientenregel könnte man hier auch wie folgt vorgehen:
$g(x) \ = \ [mm] \bruch{2x^2 - 3x}{2x^4} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2x^2}{2x^4}-\bruch{3x}{2x^4} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x^2}-\bruch{3}{2x^3} [/mm] \ = \ [mm] x^{-2}-\bruch{3}{2}*x^{-3}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Mi 16.11.2011 | | Autor: | MirjamKS |
Also die Originalfunktion war ja:
g(x)= [mm] \bruch{2x^2 - 3x}{2x^4}
[/mm]
dann
g'(x) = [mm] \bruch{(4x-3)*2x^4 - (2x^2 - 3x)*8x^3}{(2x^4)^2}
[/mm]
= [mm] \bruch{8x^5 - 6x^4 - 16x^5 - 24x^4}{(2x^4)^2}
[/mm]
= [mm] \bruch{8x^5 - 16x^5 - 6x^4-24x^4}{(2x^4)^2}
[/mm]
= [mm] \bruch{-8x^5 - 30x^4}{(2x^4)^2}
[/mm]
= [mm] \bruch{-4x*(2x^4) - 30x^4}{(2x^4)^2}
[/mm]
Doof jett, dass die [mm] -30x^4 [/mm] noch da ist, sonst hätte ich ja kürzen können und damit würde ja die -4x von dem Ergebnis und der Nenner von dem Ergebni stimmen.
Hier nochmal das was rauskommen soll:
[mm] \bruch{9-4x}{2x^4} [/mm]
Gruß Miri
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:04 Mi 16.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Also die Originalfunktion war ja:
> g(x)= [mm]\bruch{2x^2 - 3x}{2x^4}[/mm]
> dann
> g'(x) = [mm]\bruch{(4x-3)*2x^4 - (2x^2 - 3x)*8x^3}{(2x^4)^2}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{8x^5 - 6x^4 - 16x^5 - 24x^4}{(2x^4)^2}[/mm]
Hier hast du am Ende [mm] +24x^{4}
[/mm]
Und damit:
[mm] $\bruch{8x^5 - 6x^4 - 16x^5 + 24x^4}{(2x^4)^2}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{-8x^5 +18^4}{(2x^4)^2}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{2x^{4}(9-4x)}{(2x^4)^2}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{9-4x}{2x^4}$
[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:10 Mi 16.11.2011 | | Autor: | MirjamKS |
Puh, Gott sei dank habe ich mich nur verrechnet.
Vielen Dank für die Korektur! :)
Gruß Miri
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Hallo Miri!
Bisher sieht es richtig aus. Auch hier könnte man zunächst wie folgt zusammenfassen, bevor man an das Ableiten denkt:
$h(x) \ = \ [mm] \wurzel{x}*\bruch{1}{x} [/mm] \ = \ [mm] x^{\bruch{1}{2}}*x^{-1} [/mm] \ = \ [mm] x^{\bruch{1}{2}-1} [/mm] \ = \ [mm] x^{-\bruch{1}{2}}$
[/mm]
Nun ableiten.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 Mi 16.11.2011 | | Autor: | MirjamKS |
Die Ableitung davon wäre ja:
h'(x)= -0.5x ^- [mm] \bruch{3}{2} [/mm] oder?
Aber da kommt man doch niemals drauf, wenn man das so rechnet wie ich, oder? :D
Gruß Miri
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Hallo Miri!
> Die Ableitung davon wäre ja:
> h'(x)= -0.5x ^- [mm]\bruch{3}{2}[/mm] oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aber da kommt man doch niemals drauf, wenn man das so
> rechnet wie ich, oder?
Doch, doch. Du musst halt entsprechend den Potenzgesetzen zusammenfassen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Mi 16.11.2011 | | Autor: | MirjamKS |
Ah gut :)
Oh Gott, wie?
Gucken sie bitte nochmal bei der allerersten Frage. Da habe ich das ja mithilfe von Quotientenregel und Produktregel "abgelitten". Mit den ganzen Wurzeln und Brüchen bekommt man das doch niemals raus oder? :D
Und wie sie das gemacht haben, ist es zwar schön einfach, aber ja dann leider nicht nach der Produktregel gelöst, und das ist da ja leider gefragt.
Wie mach ich das denn jetzt? :/
Gruß Miri
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Hallo Miri!
Vorneweg: Du darfst hier im Forum alle mit "Du" anreden, auch alte Säcke ![[old]](/images/smileys/old.gif "[old]") wie mich (wenn Du magst).
Deine Rechnung oben ist korrekt. Und ja, es kommt wirklich dasselbe Ergebnis heraus, wenn man entsprechend zusammenfasst.
Schreibe doch mal alles in die Form [mm] $x^{...}$ [/mm] und fasse dann zusammen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Mi 16.11.2011 | | Autor: | MirjamKS |
Hey,
:D :D okay, ich merks mir. So alt bist du doch gar nicht :D Ich meine wenn da steht: naturw. Student im Hauptstudium :b
----
Naja zurück zu Mathe
Also ich hatte ja da stehen: (Wurzel aufgelöst)
h'(x)= [mm] \bruch{1}{x} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{2*x^0.5} [/mm] + [mm] x^0.5 [/mm] * [mm] (-\bruch{1}{x^2}
[/mm]
h'(x)=x^-1 * [mm] (2*x^0.5-1) [/mm] + [mm] x^0.5 [/mm] * [mm] (-x^2-1)
[/mm]
h'(x)=x^-1 * [mm] 2*x^0,5 [/mm] + [mm] x^0,5 [/mm] * [mm] -x^1
[/mm]
h'(x)=3x^-1+0.5 [mm] -x^0,5 [/mm] + 1
h'(x)=3x^-0.5 [mm] -x^1.5
[/mm]
Also irgentwas ist schon falsch oder?
Gruß Miri
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Hallo Miri,
> :D :D okay, ich merks mir. So alt bist du doch gar nicht
> :D Ich meine wenn da steht: naturw. Student im Hauptstudium
> :b
Das ist doch nur der mathematische Hintergrund. Den kann man ja vor Jahrzehnten erworben haben...
> ----
>
> Also ich hatte ja da stehen: (Wurzel aufgelöst)
Das ist grottenschlecht zu lesen. Schreib mal die Exponenten in geschweifte Klammern, dann werden sie auch richtig dargestellt.
x^{-1} ergibt [mm] x^{-1} [/mm] und x^{0.5} ergibt [mm] x^{0.5}
[/mm]
> h'(x)= [mm]\bruch{1}{x}[/mm] * [mm](\bruch{1}{2*x^0.5}[/mm] + [mm]x^0.5[/mm] * [mm](-\bruch{1}{x^2}[/mm]
...und wenn auch noch Klammern fehlen, wirds ganz unübersichtlich.
[mm] h'(x)=\bruch{1}{x}*\bruch{1}{2x^{0.5}}+x^{0.5}*\left(-\bruch{1}{x^2}\right)
[/mm]
> h'(x)=x^-1 * [mm](2*x^0.5-1)[/mm] + [mm]x^0.5[/mm] * [mm](-x^2-1)[/mm]
Hier fehlen hoffentlich auch nur Klammern und die richtige Exponentenschreibweise.
[mm] h'(x)=x^{-1}*(2x^{0.5})^{-1}+x^{0.5}*(-x^2)^{-1}
[/mm]
> h'(x)=x^-1 * [mm]2*x^0,5[/mm] + [mm]x^0,5[/mm] * [mm]-x^1[/mm]
Diese Umformung stimmt jetzt aber gar nicht mehr. Wie kommst Du denn hierhin? Lies doch nochmal die Potenzgesetze.
> h'(x)=3x^-1+0.5 [mm]-x^0,5[/mm] + 1
Und was fasst Du hier zusammen? Woher kommt die 3, woher der Rest? Was ist eigentlich Exponent und was nicht? Ehrlich, das kann man so nicht lesen.
> h'(x)=3x^-0.5 [mm]-x^1.5[/mm]
>
> Also irgentwas ist schon falsch oder?
Ja, ziemlich. Zum Beispiel die Schreibweise von "irgendwas", das eigentlich sogar "irgendetwas" heißt.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 Mi 16.11.2011 | | Autor: | MirjamKS |
Also nochmal
h'(x)= [mm] x^{-0.5}* (2x^{0.5})^{-1} [/mm] + [mm] x^{0.5} [/mm] * [mm] (-x^{2})^{-1}
[/mm]
h'(x)= [mm] x^{-0.5}* 2x^{-0.5} [/mm] + [mm] x^{0.5} [/mm] * [mm] (-x^{-2})
[/mm]
Ist das bis hierhin richtig?
--
Entschuldigung, dass ich die Rechnung so unübersichtlich gemacht habe. Wer Rechtschreibfehler findet darf sie behalten. ;)
Gruß Miri
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Hallo nochmal,
> Also nochmal
> h'(x)= [mm]x^{-0.5}* (2x^{0.5})^{-1}[/mm] + [mm]x^{0.5}[/mm] * [mm](-x^{2})^{-1}[/mm]
> h'(x)= [mm]x^{-0.5}* 2x^{-0.5}[/mm] + [mm]x^{0.5}[/mm] * [mm](-x^{-2})[/mm]
>
> Ist das bis hierhin richtig?
Nein.
Erste Zeile:
[mm] h'(x)=x^{\blue{-1}}*(2x^{0.5})^{-1}+x^{0.5}*(-x^2)^{-1}
[/mm]
Zweite Zeile:
[mm] h'(x)=x^{-1}*\blue{0.5}x^{-0.5}+x^{0.5}*(-x^{-2})
[/mm]
Du musst natürlich auch [mm] 2^{-1} [/mm] rechnen!
> Entschuldigung, dass ich die Rechnung so unübersichtlich
> gemacht habe.
Schon gut. Jetzt ist es ja schon viel besser zu lesen!
> Wer Rechtschreibfehler findet darf sie
> behalten. ;)
Lieber nicht, ich hab doch schon so viele...
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Mi 16.11.2011 | | Autor: | MirjamKS |
Oh Mist stimmt ja.
Aber bei der 2. Zeile. Muss da nicht am Ende [mm] -x^{-2} [/mm] stehen? Man multipliziert doch die Exponenten.
Also [mm] bei(-x^{2})^{-1}
[/mm]
2*(-1)= -2
Oder übersehe ich da gerade etwas?
Grüße Miri
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Nein, Du hast nichts übersehen, ich habe mich vertippt.
[mm] x^{-2} [/mm] am Ende ist richtig, da hast Du Recht.
Ich editiere meinen letzten Beitrag mal dahingehend.
lg, rev
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Mi 16.11.2011 | | Autor: | MirjamKS |
Gut.
Nun, wie muss ich jetzt weiter vorgehen?
Habe wohl gerade ein Brett vor dem Kopf. Das Potenzgesetz kann man doch nicht anwenden oder? Die Basis ist ja nicht ganz gleich.
Gruß Miri
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Hallo nochmal,
> Gut.
> Nun, wie muss ich jetzt weiter vorgehen?
> Habe wohl gerade ein Brett vor dem Kopf. Das Potenzgesetz
> kann man doch nicht anwenden oder? Die Basis ist ja nicht
> ganz gleich.
Doch, es kommt nur die Basis x vor. Beide Summanden bestehen aus dem Produkt zweier x-Potenzen.
Im Endeffekt muss ja das gleiche rauskommen wie bei der kürzeren Rechnung, bei der man erst vereinfacht, bevor man ableitet.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:47 Mi 16.11.2011 | | Autor: | MirjamKS |
Stimmt.
Es kommt also raus h'(x)= [mm] -0.5x^{-1.5}
[/mm]
Vielen Dank!
Gruß Miri
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:51 Mi 16.11.2011 | | Autor: | reverend |
> Stimmt.
> Es kommt also raus h'(x)= [mm]-0.5x^{-1.5}[/mm]
...also genau das gleiche wie oben. So solls ja auch sein.
lg
rev
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