Abschätzen bei Majorantenkr. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Folgende Reihe soll mit dem Majorantenkriterium auf Konvergenz überprüft werden:
[mm] \summe_{x=1}^{ \infty} \bruch{ \wurzel[3]{x^{2}+1}}{x* \wurzel[6]{x^{5}+x-1}} [/mm] |
Bei dieser Aufgabe habe ich Probleme das richtig abzuschätzen. Wie geht man hier am besten vor? Ich würde erstmal die +1 und die -1 streichen, dann würde ich versuchen Zähler und Nenner auf die selbe Potenz zu bringen.
Danke und Gruss
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:25 Fr 06.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Folgende Reihe soll mit dem Majorantenkriterium auf
> Konvergenz überprüft werden:
> [mm]\summe_{x=1}^{ \infty} \bruch{ \wurzel[3]{x^{2}+1}}{x* \wurzel[6]{x^{5}+x-1}}[/mm]
Schreib das doch mal um: [mm]\summe_{x=1}^{ \infty} \sqrt[6]{ \bruch{ (x^{2}+1)^2 }{ x^6 (x^{5}+x-1) }[/mm]
> Bei dieser Aufgabe habe ich Probleme das richtig
> abzuschätzen. Wie geht man hier am besten vor? Ich würde
> erstmal die +1 und die -1 streichen, dann würde ich
Damit schaetzt du in die falsche Richtung ab!
> versuchen Zähler und Nenner auf die selbe Potenz zu
> bringen.
Zurueck zum umgeformten Term: Wie wuerdest du vorgehen, wenn das [mm] $\sqrt[6]{\bullet}$ [/mm] da nicht stehen wuerde?
Oder allgemeiner, wie gehst du vor, wenn du ein Polynom $p(x) = [mm] x^n [/mm] + ...$ hast und das Verhalten von $p(x)$ fuer $x [mm] \to \infty$ [/mm] bestimmen willst? Du klammerst [mm] $x^n$ [/mm] aus und hast $p(x) = [mm] x^n [/mm] (1 + ...)$, wobei $...$ jetzt ein Term ist der fuer $x [mm] \to \infty$ [/mm] gegen $0$ geht!
Hilft dir das weiter?
LG Felix
|
|
|
| |
|
Erstmal danke für die schnelle Antwort.
Ich würde dann erstmal das Binom auflösen, oder halt ausklammern. Am Ende erhalte ich den Wert [mm] \wurzel[6]{\bruch{1}{ x^{7}}}
[/mm]
Allerdings hätte ich dann nirgendwo abgeschätzt und das wäre ja nicht im Sinne der Aufgabenstellung.
Wo und wann muss ich dann abschätzen?
Gruss
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Sa 07.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Erstmal danke für die schnelle Antwort.
>
> Ich würde dann erstmal das Binom auflösen, oder halt
> ausklammern. Am Ende erhalte ich den Wert
> [mm]\wurzel[6]{\bruch{1}{ x^{7}}}[/mm]
Wie bist du denn dorthin gekommen?! Schreib doch mal deine Zwischenschritte auf! Ich sehe nicht, wie man dort ohne Abschaetzungen hinkommt.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Ich bin folgendermaßen vorgegangen:
[mm] \wurzel[6]{\bruch{(x^{2}+1)^{2}}{ x^{6}*(x^{5}+x-1)}}
[/mm]
[mm] \wurzel[6]{\bruch{x^{4}*(1+1/x^{2})^{2}}{ x^{6}*(x^{5}+x-1)}}
[/mm]
[mm] \wurzel[6]{\bruch{1}{ x^{2}*(x^{5}+x-1)}}
[/mm]
[mm] \wurzel[6]{\bruch{1}{(x^{7}+x^{3}-x^{2})}}
[/mm]
[mm] \wurzel[6]{\bruch{1}{x^{7}*(1+1/x^{4}-1/x^{5})}}
[/mm]
[mm] \wurzel[6]{\bruch{1}{x^{7}}}
[/mm]
Hoffe mal, das es richtig ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 Sa 07.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathematiker-007,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Diese Vorgehensweise ist nicht richtig! Du veränderst ja den Wert des Terms, indem Du z.B. mittendrin plötzlich den Zähler veränderst.
Ich glaube zu ahnen, dass Du hier zwischendurch eine Grenzwertbetrachtung machst (?). Damit weist Du aber lediglich das notwendige Kriterium für Reihenkonvergenz nach (aufzusummierende Folge muss eine Nullfolge sein).
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Aber wie geht es denn dann richtig?
Beim abschätzen verändere ich doch auch den Term...
Die Konvergenz ist doch gegeben, wenn ein Grenzwert vorhanden ist, und das habe ich doch damit bewiesen, oder nicht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 Sa 07.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Aber wie geht es denn dann richtig?
Du hast ja schon fast richtig gerechnet:
[mm] $\sqrt[6]{\frac{(x^{2}+1)^{2}}{ x^{6}*(x^{5}+x-1)}} [/mm] = [mm] \sqrt[6]{\frac{1}{x^{7}}} \cdot \sqrt[6]{\frac{1+1/x^{2})^{2}}{(1+1/x^{4}-1/x^{5}}} [/mm] = [mm] \sqrt[6]{\frac{1}{x^{7}}} \cdot c_x$ [/mm] mit [mm] $c_x \in \IR_{>0}$, [/mm] $x [mm] \in \IN$.
[/mm]
Die Folge [mm] $c_x, [/mm] x [mm] \in \IN$ [/mm] ist eine Nullfolge, wie du schon richtig gesehen hast, und alle Folgenglieder sind positiv. Also gibt es ein $L = [mm] \sup_{x\in\IN} c_x [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] mit [mm] $c_x \le [/mm] L$ fuer alle $x [mm] \in \IN$, [/mm] und damit ist [mm] $\frac{\sqrt[3]{x^2 + 1}}{x \sqrt[6]{x^5 +x - 1}} \le x^{-7/6} \cdot [/mm] L$ fuer alle $x [mm] \in \IN$. [/mm] Kommst du damit jetzt weiter?
LG Felix
|
|
|
| |
|
Was hat den L = [mm] \sup_{x\in\IN} c_x [/mm] < [mm] \infty [/mm] zu bedeuten?
Das kenne ich leider nicht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 So 08.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Was hat den L = [mm]\sup_{x\in\IN} c_x[/mm] < [mm]\infty[/mm] zu bedeuten?
> Das kenne ich leider nicht.
Nun, hier ist [mm] $\sup$ [/mm] das gleiche wie [mm] $\max$. [/mm] Das Supremum [mm] $\sup [/mm] M$ ist im allgemienen die kleinste obere Schranke einer Menge $M$; hier ist $M = [mm] \{ c_x \mid x \in \IN \}$.
[/mm]
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Sa 07.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo 007
Eigentlich find ich es besser, ohne Grenzwerte zu arbeiten, sondern konsequent zu vergrößern, indem man den Zähler vergrößert, hier [mm] x^{2}>1, [/mm] also 1 durch [mm] x^{2} [/mm] ersetzen, im Nenner -1 durch -x ersetzen,damit Nenner verkleinern, dann bleibt [mm] \bruch{(2x)^{2/3}}{x*x^{5/6}}> [/mm] ursprümglicher Bruch. und [mm] a_{x}<\wurzel[3]{2}*\bruch{1}{x^{7/6}} [/mm] also [mm] \wurzel[3]{2}*\summe_{x=1}^{\infty}\bruch{1}{x^{7/6}} [/mm] ist Majorante.
Bei deiner ersten Abschätzung hast du erst verkleinert (den Zähler) dann vergrößert (Nenner verkleinert)
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Das ist ja interessant!
Aber woher weiss ich, dass ich 1 durch [mm] x^{2} [/mm] ersetzen darf/muss und im Nenner -1 durch -x ersetzen darf/muss?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 So 08.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo 007
Na, Abschätzen, dafür gibts keine exakten Regeln, alles was zum Ziel führt ist erlaubt. Das Ziel hier hat man schnell vor Augen. [mm] a/x^{7/6}. [/mm] Und im Zähler darf ich ja nur vergrößern, also 1 durch was größeres ersetzen, was liegt näher als [mm] x^{2} [/mm] natürlich kann man auch 1 durch x oder 2x oder 10 ersetzen, aber das führt nicht in die richtige Richtung.
Nenner muss ich verkleinern, da hier die 1 negativ ist kann ich sie durch irgendwas größeres erstzen also durch 2 oder x oder [mm] x^{2} [/mm] und ich nehm das was zu meinem Ziel hinführt.
Aber nochmal Rezepte gibts bein Abschätzen nicht ausser so einfachen wie beim Vergrößern Nenner verkleinern und,oder Zähler vergrößern und dann mit verschiedene Möglichkeiten rumspielen, bis man am Ziel ist.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Dank an alle die geholfen haben. Jetzt ist doch wesentlich klarer geworden.
|
|
|
|
