Abschätzung DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:16 Fr 19.08.2011 | | Autor: | Harris |
| Aufgabe | Sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] und sei [mm] $\omega:\IR^n\rightarrow\IR^n$ [/mm] eine stetige Funktion mit [mm] $|\omega(x)|\leq\frac{1}{2}|x|$ [/mm] für alle [mm] $x\in\IR^n$ [/mm] mit [mm] $|x|<\varepsilon$, [/mm] wobei [mm] $|x|=|(x_1,...,x_n)|=\sqrt{x_1^2+...+x_n^2}$ [/mm] die euklidische Norm auf dem [mm] $\IR^n$ [/mm] bezeichne. Sei weiter [mm] $x:[0,\infty)\rightarrow\IR^n$ [/mm] eine Lösung der Differentialgleichung
[mm] $\frac{dx}{dt}=-x+\omega(x).$
[/mm]
Aufgabe: Schätzen Sie [mm] $\frac{d}{dt}|x(t)|^2$ [/mm] ab und folgern Sie aus Ihrem Ergebnis, dass aus [mm] $|x(0)|<\varepsilon$ [/mm] stets [mm] $|x(t)<\varepsilon$ [/mm] für alle $t>0$ sowie [mm] $x(t)\rightarrow [/mm] 0$ für [mm] $t\rightarrow\infty$ [/mm] folgt. |
Hi!
Ich habe große Probleme bei der Bearbeitung dieser Aufgabe... Ich poste einfach mal, was ich bereits erreicht habe:
[mm] $\frac{dx}{dt}|x(t)|^2=\frac{dx}{dt}\sum_{k=1}^{n}x_k^2=\sum_{k=1}^n\frac{dx}{dt}x_k^2=\sum_{k=1}^n2x_kx_k'=\sum_{k=1}^n2x_k(-x_k+\omega_k(x))=-2|x|^2+2\sum_{k=1}^nx_k\omega_k(x)
[/mm]
Und jetzt müsste hier doch irgendwie die Abschätzung von [mm] $\omega$ [/mm] kommen... Nur ich weiß nicht wie. Ich kann ja nicht einfach [mm] $\omega_k(x)<\frac{1}{4}x_k$ [/mm] setzen....
Wäre echt für jeden Tipp dankbar!
MFG, Harris
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Hallo Harris,
bis dahin ist alles in Ordnung. Den rechten Term deiner Gleichungskette kann man auch schreiben als
[mm]2\sum_{k=1}^n x_k \omega_k(x)-2|x|^2=2(\ (x,\omega(x))-|x|^2),[/mm]
wobei [mm](\cdot,\cdot)[/mm] das euklidische Skalarprodukt bezeichnet. Das kann man z.B. mit Cauchy-Schwarz weiter nach oben abschätzen.
Gruß
Spunk
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[mm] $\summe_{i=1}^{n}\omega_i x_i [/mm] = [mm] \omega \cdot [/mm] x = [mm] |\omega||x|\cos\alpha \le |\omega| [/mm] |x| [mm] \le \frac{1}{2}|x|^2.$
[/mm]
Wobei [mm] $\alpha$ [/mm] der eingeschlossene Winkel ist.
Somit haben wir: [mm] $\frac{d}{dt}|x|^2 \le -|x|^2$.
[/mm]
[mm] $|x|^2$ [/mm] ist also eine monoton fallende, nach unten beschränkte Funktion [mm] ($|x|^2 \ge [/mm] 0$). Der Grenzwert existiert also und muß 0 sein.
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