Abschätzung Erwartungswert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:06 So 09.10.2011 | | Autor: | Fry |
Hallo zusammen,
ich möchte folgendes zeigen:
[mm](E(X_n)^2)^{\bruch{1}{2}}\le \bruch{\beta\gamma}{\wurzel{2n}}[/mm] ([mm]\beta,\gamma>0[/mm],[mm]n\in\IN[/mm])
wobei [mm]X_n:=\bruch{\beta}{n}\sum_{\sigma\in\{-1,+1\}^n}\bruch{e^{-\beta*A_n(\sigma)}}{Z_n}(H_n(\sigma)-A_n(\sigma))[/mm]
Ich denke mal, dass es hier unwichtig ist, wie genau [mm]H_n[/mm] und [mm]A_n[/mm] aussehen
([mm]H_n[/mm] ist ne Summe von Zufallsvariablen, [mm]A_n[/mm] ne Konstante, beide aber abhängig von [mm]\sigma[/mm] und n)
Es gilt: [mm]Z_n:=\sum_{\sigma\in\{-1,+1\}^n}e^{-\beta*A_n(\sigma)}[/mm]
Die Abschätzung soll man mit Hilfe der Dreiecksungleichung
und der Abschätzung [mm]E(H_n(\sigma)-A_n(\sigma))^2\le \bruch{\gamma^2(n-1)}{2}[/mm] herausbekommen.
Hab erstmal die Summe "ausmultipliziert": [mm]E(X_n)^2=\bruch{\beta^2}{n^2}\sum_{\sigma,\tau\in\{-1,+1\}^n}\bruch{e^{-\beta*[A_n(\sigma)+A_n(\tau)]}}{Z^2_n}E\left[H_n(\sigma)-A_n(\sigma)\right]\left[(H_n(\tau)-A_n(\tau)\right][/mm]
Aber weiß überhaupt nicht, wie man mit Hilfe der "Tipps" dann weiterkommen soll. Weiß vielleicht jemand von euch Rat? Wäre super,wenn ihr mir da weiterhelfen könntet.
Viele Grüße,
Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:23 Mo 24.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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