Abschätzung, Normen < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Di 09.11.2004 | | Autor: | red-m |
Hallo ihr netten und hilfsbereiten Leute.
Es wäre wirklich hilfreich, wenn mir jemand einen kleinen Tipp für zwei (bestimmt) einfache Abschätzungen gibt. Es handelt sich dabei jeweils um Vektornormen.
1. [mm] \| x \|_1 \le \sqrt{n} \| x \|_2 [/mm]
2. [mm] \| x \|_\infty \le \| x \|_2 [/mm]
jeweils für [mm] x \in R^n [/mm]
Dabei handelt es sich bei [mm] \| x \|_\infty [/mm] um die Maximumsnorm, bei [mm] \| x \|_1 [/mm] um die Summennorm und bei [mm] \| x \|_2 [/mm] um die euklidische Norm.
Über schnelle Hilfe würde ich mich freuen.
Gruß
red-m
P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 Di 09.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo red-m!
Es gilt:
[mm] $\Vert [/mm] x [mm] \Vert_1 [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=1}^n \vert x_i \vert [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=1}^n [/mm] 1 [mm] \cdot \vert x_i \vert [/mm] = [mm] \ldots$.
[/mm]
Schaffst du es nun selber die Ungleichung mit Hilfe der Cauchy-Schwarz-Ungleichung
[mm] $\sum\limits_{i=1}^n a_i\, b_i \le \left( \sum\limits_{i=1}^n a_i^2 \right)^{\frac{1}{2}} \cdot \left( \sum\limits_{i=1}^n b_i^2 \right)^{\frac{1}{2}}$ [/mm]
zu Ende zu führen?
Zur zweiten Ungleichung:
Sei oBdA [mm] $\Vert [/mm] x [mm] \Vert_{\infty} [/mm] = [mm] \vert x_1\vert$.
[/mm]
Dann gilt wegen [mm] $x_1^2 \le \sum\limits_{i=1}^n x_i^2$:
[/mm]
[mm] $\Vert [/mm] x [mm] \Vert_{\infty} [/mm] = [mm] \vert x_1 \vert [/mm] = [mm] (x_1^2)^{\frac{1}{2}} \le \left( \sum\limits_{i=1}^n x_i^2 \right)^{\frac{1}{2}} [/mm] = [mm] \Vert [/mm] x [mm] \Vert_2$.
[/mm]
Vielleicht hast du ja auch die Möglichkeit ein paar der vielen offenen Fragen zu beantworten.
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:03 Di 09.11.2004 | | Autor: | red-m |
Die Antwort war wirklich hilfreich. Da hätte ich aber auch wirklich selber drauf kommen können. Naja nach zwei Stunden grübeln habe ich mir halt alles etwas komplizierter gemacht als es ist.
Danke für die Antwort
Mit freundlichen Grüßen
red-m
|
|
|
|
