Abschätzung durch Tschebyschew < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:02 Mi 29.06.2005 | | Autor: | polldi |
Hallo,
könnt Ihr mir dringend bei einer Aufgabe zum Thema Tschebyschew helfen?
Folgendes:
Eine Zufallsvariable [mm]X_n [/mm]sei gleichverteilt auf{-n, ...,0,1,..,n}.
Vergleiche für große n P(|[mm]X_n[/mm][mm] |\ge [/mm] n/2) und P(|[mm]X_n[/mm][mm] |\ge [/mm] n/10) mit den Abschätzungen, die man aus der Tschebyschew-Ungleichung erhält.
Ich habe mir überlegt das mit einer variante der tscheby.. zu meistern, mit der Markow-Ungleichung:
P(|[mm]X_n[/mm][mm] |\ge \varepsilon)\le E(X)/\varepsilon
[/mm]
man erhält also: P(|[mm]X_n[/mm][mm] |\ge n/2)\le [/mm] E(X)/n/2 fürs 1.Beispiel.
Wie genau gehe ich denn jetzt vor um eine Abschätzung vorzunehmen?
Ich wär Euch ganz doll dankbar, wenn Ihr mir das erklären könntet!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Viele Grüße
Polldi
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Hi, polldi,
für Deine Gleichverteilung gilt ja: Alle Zufallswerte haben dieselbe Wahrscheinlichkeit.
Da es 2n+1 Zufallswerte sind, hat jede davon die Wahrscheinlichkeit [mm] p=\bruch{1}{2n+1}.
[/mm]
Der Erwartungswert ist natürlich =0, was in Deinem Ansatz
[mm] P(|X_{n}| \ge [/mm] ...) schon berücksichtigt wurde.
Die Tsch.Ungl. lautet ja: [mm] P(|X_{n}| \ge [/mm] a) [mm] \le \bruch{Var(X)}{a^{2}}
[/mm]
Für die Berechnung der Varianz würd' ich die Verschiebungsformel benutzen, also: Var(X) = [mm] E(X^{2}) [/mm] - E(X), was sich hier natürlich (E(X) ist ja 0) zu Var(X) = [mm] E(X^{2}) [/mm] vereinfacht.
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, müsste rauskommen:
Var(X) = [mm] 2*(n^{2}+(n-1)^{2}+...+1)*\bruch{1}{2n+1}
[/mm]
Für die Klammer hab' ich die entsprechende Potenzsumme eingesetzt:
Var(X) = [mm] n*(n+1)*\bruch{1}{2n+1} [/mm]
Das musst Du nun oben einsetzen,
ebenso wie a = [mm] \bruch{n}{2} [/mm] bzw. a = [mm] \bruch{n}{10} [/mm]
für Deine beiden Ansätze.
Das Ergebnis kann man zwar noch umformen, aber es wird auf jeden Fall von n abhängen!
Für die EXAKTE Berechnung von [mm] P(|X_{n}| \ge [/mm] ...) (Du sollst ja die Tsch.Ungl. mit dem genauen Wert vergleichen), musst Du Dir zunächst mal überlegen, wieviele Zufallswerte für [mm] |X_{n}| \ge [/mm] a "rauskommen".
Nehmen wir mal [mm] a=\bruch{n}{2}
[/mm]
Wenn ich mich vertan habe (Du musst das selbst ausprobieren!)
liegen für geradzahliges n genau n+2 Zufallswerte im gewünschten Bereich, für ungeradzahliges nur n+1 Zufallswerte.
Demnach erhalte ich (ohne Garantie!):
Für geradzahliges n: [mm] P(|X_{n}| \ge \bruch{n}{2}) [/mm] = [mm] (n+2)*\bruch{1}{2n+1},
[/mm]
für ungeradzahliges n: [mm] P(|X_{n}| \ge \bruch{n}{2}) [/mm] = [mm] (n+1)*\bruch{1}{2n+1}.
[/mm]
Das musst Du nun mit dem Ergebnis aus der Tsch.Ungl vergleichen; am besten, indem Du den Quotienten bildest.
Naja: Probier' das erst mal!
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