Abschätzung einer Norm < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Aussage :
Die Multiplikation eines Vektors aus IR² mit der Matrix [mm] M=\pmat{ 4 & -3 \\ 3 & 4 } [/mm] vergrößert die 1-Norm [mm] ||x||_{1}:=|x_{1}|+|x_{2}| [/mm] des Vektors um den Faktor 5 (-> wahr oder falsch ?) |
hallo !
ich weiß schon, dass diese aussage FALSCH ist, komm aber mit dem beweis nicht ganz hin. werd einfach mal meinen (falschen) lösungsweg posten und dann mal sehen, ob ihr mich an der richtigen stelle korrigieren könnt
anfang : [mm] \pmat{ 4 & -3 \\ 3 & 4 }*\vektor{x_{1} \\ x_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{4x_{1}-3x_{2} \\ 3x_{1}+4x_{2}}
[/mm]
überprüfung:
--> [mm] ||\vektor{4x_{1}-3x_{2} \\ 3x_{1}+4x_{2}}|| [/mm] = [mm] |4x_{1}-3x_{2}| [/mm] + [mm] |3x_{1}+4x_{2}| \le |4x_{1}| [/mm] + [mm] |3x_{2}| [/mm] + [mm] |3x_{1}| [/mm] + [mm] |4x_{2}|
[/mm]
[mm] =4*(|x_{1}|+|x_{2}|) [/mm] + [mm] 3*(|x_{1}|+|x_{2}|) [/mm] = [mm] 7*(|x_{1}|+|x_{2}|) \not= 5*(|x_{1}|+|x_{2}|)
[/mm]
...und an der stelle hat ich mich gefreut, die aufgabe gelöst zu haben,bis mir aufgefallen ist, dass ich ja in richtung "KLEINER" abgeschätzt hab und der beweis somit ja quatsch ist. in richtung "GRÖSSER" komm ich aber irgendwie nicht hin. :(
habt ihr also ne idee, den oberen lösungsweg (richtig) zu ende zu bringen ?? oder auch einen ganz anderen richtigen
danke
mfg
peter
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 Mi 23.08.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Peter,
auch wenn ich nicht direkt auf Deinen Beweis eingehe und es vielleicht auch ein wenig an Eleganz fehlt:
Um eine Behauptung zu widerlegen, genügt ja eigentlich ein einziges konkretes Gegenbeispiel.
Da Du aber wohl auch auf der Suche nach einem eleganten, allgemeinen Beweis bist, setze ich Deine Frage nur auf "teilweise beantwortet".
Schöne Grüße,
ardik
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 Mi 23.08.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Aussage :
> Die Multiplikation eines Vektors aus IR² mit der Matrix
> [mm]M=\pmat{ 4 & -3 \\ 3 & 4 }[/mm] vergrößert die 1-Norm
> [mm]||x||_{1}:=|x_{1}|+|x_{2}|[/mm] des Vektors um den Faktor 5
> (-> wahr oder falsch ?)
> hallo !
>
> ich weiß schon, dass diese aussage FALSCH ist, komm aber
> mit dem beweis nicht ganz hin. werd einfach mal meinen
> (falschen) lösungsweg posten und dann mal sehen, ob ihr
> mich an der richtigen stelle korrigieren könnt
>
> anfang : [mm]\pmat{ 4 & -3 \\ 3 & 4 }*\vektor{x_{1} \\ x_{2}}[/mm]
> = [mm]\vektor{4x_{1}-3x_{2} \\ 3x_{1}+4x_{2}}[/mm]
>
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Hallo Peter,
Nimm, wie ardik schon sagt, einfach en Gegenbeispiel.
Ich habe es mit [mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] widerlegt.
Es gilt: [mm] \pmat{ 4 & -3 \\ 3 & 4 }*\vektor{1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 7}.
[/mm]
Es müsste jetzt gelten:
[mm] \underbrace{\parallel \vektor{1 \\ 1} \parallel_{1}}_{= 2} [/mm] = [mm] \underbrace{5 \parallel \vektor{1 \\ 7} \parallel_{1}}_{\not=10}
[/mm]
und damit ist die Aussage widerlegt.
Jetzt ist
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nagut, dann werd ich mich mal mit nem gegenbeispiel zufrieden geben, reicht ja aus.
danke
mfg
peter
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