Abschätzung mit Binom. Satz < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:10 Sa 05.11.2011 | | Autor: | HoRuS89 |
| Aufgabe | Entscheiden Sie – ohne Zuhilfenahme eines Taschenrechners – welche der beiden Zahlen [mm] 1.000.000^{1 000 001} [/mm] und [mm] 1.000.001^{1 000 000} [/mm] die größere ist.
Hinweis: Fragestellung auf den Vergleich von [mm] n^{n+1} [/mm] und [mm] (n+1)^{n} [/mm] abstrahieren, den Quotienten betrachten und binomischen Satz anwenden, Binomialkoeffizienten geeignet abschätzen. |
Hallo liebe Mitstreiter,
Ich hoffe das ich die Frage im richtigen Forum angelegt habe, da ein Induktionsbeweis eventuell in der Aufgabe verlangt sein könnte.
Nun, ich bin mir nicht sicher ob meine Kompetenz für die Aufgabe nicht ausreicht oder ich einfach nur blind bin. Ok, abstrahiere ich auf den im Hinweis genannten Sachverhalt. Ich dachte mir nun, ich könnte entsprechend eine Vermutung anstellen und eine Ungleichung aufstellen, wäre die Vermutung falsch könnte ich entsprechend den Beweis als Widerspruchsbeweis nutzen. Nur wie Beweise ich das? Ein Induktionsbeweis würde mir ja helfen, da n = 1.000.000 ja natürlich ist, aber wenn ich beginne sehe keine Möglichkeit mir den Sachverhalt für n + 1 umzuformen.
Mit dem Hinweis kann ich nicht wirklich etwas anfangen, was für ein Quotient bitte, wie kann ich mir aus dem Binom. Satz ableiten das ein Ausdruck größer als ein anderer ist? Wie zeige ich das nun ordentlich?
Kann mich bitte jemand schubsen?
Liebe Grüße
Martin
Weiterhin gilt: Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:15 Sa 05.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib doch den Quotienten mal hin und dividier Z und Nenner durch n bzw 1000000
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Sa 05.11.2011 | | Autor: | HoRuS89 |
Jetzt meine Blockade:
Welcher Quotient?
[mm] (n+1)^{n} [/mm] <> [mm] n^{n+1}
[/mm]
Umformen in
[mm] \bruch{(n+1)^{n}}{n^{n+1}} [/mm] <> 1
Oder welcher Quotient ist da gemeint?
LG Martin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:13 Sa 05.11.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
und jetzt so umformen das Du ein Produkt mit einem Term in der n-ten Potenz und einen Rest hast. Dann an die Definition der Eulerschenzahl denken.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:17 So 06.11.2011 | | Autor: | HoRuS89 |
Eulersche Zahl...
Ich hoffe ich blamier mich jetzt nicht...
1 <> [mm] \bruch{(n+1)^{n}}{n^{n+1}}
[/mm]
Ok ich klammer n in der Basis des Zählers aus...
1 <> [mm] \bruch{((1+\bruch{1}{n})*n)^{n}}{n^{n+1}}
[/mm]
Potenzgesetz...
1 <> [mm] \bruch{(1+\bruch{1}{n})^{n}*n^{n}}{n^{n+1}}
[/mm]
n hoch n herauskürzen...
1 <> [mm] \bruch{(1+\bruch{1}{n})^{n}}{n}
[/mm]
mit n multiplizieren...
n <> [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n}
[/mm]
da nun der rechte Ausdruck bei hohen n gegen die eulersche Zahl konvergiert und der linke Ausdruck n ist muss also der linke entsprechend größer sein (vor allem bei dem in der Aufgabe gegebenen n) sodass gilt
[mm] n^{n+1} [/mm] > [mm] (n+1)^{n}
[/mm]
Jetzt die Frage:
Top oder Flop?
LG Martin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:41 So 06.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
soweit schon richtig, also top aber ab welchem n stimmt es denn? dazu müßtest du ne abschätzung dafür haben, wie schnell deine rechte seite gegen e konvergiert oder ab wo sie >n ist. nur sagen meine Zahl ist groß reicht dafür nicht .
anderer Weg; den Tip nehmen und (n+1)^^n als summe schreiben.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:55 So 06.11.2011 | | Autor: | HoRuS89 |
O.K.
Also laut Aufgabenstellung ist ja n = 1.000.000, was ich einsetzen könnte und die Ungleichung entsprechend erfüllen würde, damit hätte ich ja die Frage der Aufgabenstellung beantwortet.
Natürlich interessiert mich die Lösung über den Hinweis brennend, nur das ich eben keine Idee beim weiterkommen hatte.
Also sollte ja als Summe geschrieben gelten...
[mm] n^{n+1} [/mm] <> [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}*n^{n-k}
[/mm]
Wie kann ich das jetzt sinnvoll auswerten? Ich hab nicht wirklich ein Gefühl für den Bin. Satz und kann auch mit dem Hinweis nicht unbedingt da was anfangen...
Würde mir das noch jemand deutlich machen?
LG Martin
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Hallo Martin,
> O.K.
>
> Also laut Aufgabenstellung ist ja n = 1.000.000, was ich
> einsetzen könnte und die Ungleichung entsprechend
> erfüllen würde, damit hätte ich ja die Frage der
> Aufgabenstellung beantwortet.
Ja, das reicht hier.
Ansonsten kann man aber auch zeigen, dass die Ungleichung für alle n>2 erfüllt ist, wozu man am besten auch den binomischen Satz heranzieht. Ob der Tipp der Aufgabe das auch meint, würde ich aber eher bezweifeln.
> Natürlich interessiert mich die Lösung über den Hinweis
> brennend, nur das ich eben keine Idee beim weiterkommen
> hatte.
>
> Also sollte ja als Summe geschrieben gelten...
>
> [mm]n^{n+1}[/mm] <> [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\
k}*n^{n-k}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Du kannst Dir die Rechnung manchmal etwas einfacher machen, wenn Du [mm] n^k [/mm] anstatt [mm] n^{n-k} [/mm] schreibst. Das ist in der binomischen Formel austauschbar; wir brauchen diese Vertauschung hier aber nicht.
> Wie kann ich das jetzt sinnvoll auswerten? Ich hab nicht
> wirklich ein Gefühl für den Bin. Satz und kann auch mit
> dem Hinweis nicht unbedingt da was anfangen...
>
> Würde mir das noch jemand deutlich machen?
Für alle k ist [mm] \vektor{n\\k}\le{n^k}. [/mm]
Außerdem verwerten wir noch zwei der leicht anzugebenden Werte, nämlich [mm] \vektor{n\\n-1}=n [/mm] und [mm] \vektor{n\\n}=1.
[/mm]
Dann kann man für n>2 folgendes sagen:
[mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}n^{n-k}\le\left(\summe_{k=0}^{n-2}n^k*n^{n-k}\right)+n*n^1+1*n^0= (n-1)n^n+n^2+1=n^{n+1}-n^n+n^2+1<>n^{n+1}
[/mm]
Ich verwende mal Deine <> Schreibweise...
Zu zeigen ist dann nur noch:
[mm] -n^n+n^2+1\le{0}\quad\gdw\quad n^n-n^2\ge{1}\quad\gdw\quad n^2\ge\bruch{1}{n^{n-2}-1}
[/mm]
Das ist für n>2 sicher erfüllt.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:37 So 06.11.2011 | | Autor: | HoRuS89 |
O.k.
Die Lösung leuchted auch ein und ist mir an der Stelle ausreichend. Den Hinweis find ich irgendwie ... Naja ... Müll.
Vielen Dank an meine Helfer, vor allem für die vermittelte Weisheit.
Liebe Grüße,
Martin
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