Abschätzung mit Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie:
[mm] \vektor{2n \\ n} [/mm] * [mm] \frac{1}{2^{2n}}\leq\frac{1}{\sqrt{2n+1}} [/mm] (hier ist der Binomialkoeffizient gemeint) |
Guten Abend, liebe Mathematiker. Ich soll obiges Resultat beweisen, ein Tipp war, es mit Induktion zu versuchen.
Ich bilde also (nach meinem Induktionsanfang) die Induktionsvoraussetzung [mm] $\frac{(2n-2)!}{((n-1)!)^2*2^{2n-2}}\leq\frac{1}{\sqrt{2n-1}}$ [/mm] und rechne dann herum:
[mm] $\frac{(2n)!}{(n!)^{2}*2^{2n}}=\frac{(2n-2)! 2n (2n-1)}{(n-1)!*n*n*2^{2n-2}*2*2}\leq\frac{1}{\sqrt{2n-1}}\cdot\frac{2n (2n-1)}{n^2*2*2}$, [/mm] komme so aber an kein Ziel..
Hat irgendjemand zu dieser späten Stunde noch einen Tipp für mich?
Lg Lykanthrop
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Lykanthrop, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
damit bist Du doch schon fast am Ziel.
> Zeigen Sie:
> [mm]\vektor{2n \\
n}[/mm] *
> [mm]\frac{1}{2^{2n}}\leq\frac{1}{\sqrt{2n+1}}[/mm] (hier ist der
> Binomialkoeffizient gemeint)
>
> Guten Abend, liebe Mathematiker. Ich soll obiges Resultat
> beweisen, ein Tipp war, es mit Induktion zu versuchen.
> Ich bilde also (nach meinem Induktionsanfang) die
> Induktionsvoraussetzung
> [mm]\frac{(2n-2)!}{((n-1)!)^2*2^{2n-2}}\leq\frac{1}{\sqrt{2n-1}}[/mm]
> und rechne dann herum:
> [mm]\frac{(2n)!}{(n!)^{2}*2^{2n}}=\frac{(2n-2)! 2n (2n-1)}{(n-1)!*n*n*2^{2n-2}*2*2}\leq\frac{1}{\sqrt{2n-1}}\cdot\frac{2n (2n-1)}{n^2*2*2}[/mm],
> komme so aber an kein Ziel..
Da fehlt ja auch noch die Fortsetzung der Ungleichungskette. Ich nehme den letzten Term mal noch mit auf:
[mm] \cdots=\bruch{1}{\wurzel{2n-1}}*\bruch{2n-1}{2n}\le\bruch{1}{\wurzel{2n+1}}
[/mm]
Das willst Du ja schließlich zeigen.
Mit ein bisschen Umformen kommt man schnell zu
[mm] 1\le\wurzel{1+\bruch{1}{4n^2-1}}
[/mm]
was offensichtlich wahr ist.
Grüße
reverend
> Hat irgendjemand zu dieser späten Stunde noch einen Tipp
> für mich?
> Lg Lykanthrop
Späte Stunde? In welcher Zeitzone bist Du denn? 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:44 Do 31.05.2012 | | Autor: | Lykanthrop |
Vielen Dank für deine Hilfe!
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