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| Aufgabe | Die Folge [mm] (x_{n})_{n\in\IN} [/mm] mit
[mm] x_{n}=\summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!} [/mm]
konvergiert gegen e. Bestimmen Sie das kleinste [mm] m\in\IN, [/mm] so dass die folgende Abschätzung gilt:
[mm] |x_{m}-e|\le10^{-5} [/mm] |
Hallo zusammen
Wenn jetzt da irgend ein [mm] x^n [/mm] stehen würde anstelle des Summenzeichens, wüsste ich schon wie, aber wie berechne ich ein [mm] x_{m}\le10^{-5}+e? [/mm] Ich sehe gar keine Möglichkeit, kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
Liebe Grüsse
Cassiopaya
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> Die Folge [mm](x_{n})_{n\in\IN}[/mm] mit
> [mm]x_{n}=\summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!}[/mm]
> konvergiert gegen e. Bestimmen Sie das kleinste [mm]m\in\IN,[/mm] so
> dass die folgende Abschätzung gilt:
> [mm]|x_{m}-e|\le10^{-5}[/mm]
> Hallo zusammen
>
> Wenn jetzt da irgend ein [mm]x^n[/mm] stehen würde anstelle des
> Summenzeichens, wüsste ich schon wie, aber wie berechne
> ich ein [mm]x_{m}\le10^{-5}+e?[/mm] ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
das hast du wohl etwas anders gemeint als notiert ...
beachte, dass [mm] x_m
(die Folge strebt monoton steigend gegen e)
> Ich sehe gar keine Möglichkeit,
> kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
>
> Liebe Grüsse
>
> Cassiopaya
Hallo Cassi,
Man könnte diese Frage relativ leicht durch Berechnung
einiger Glieder der Folge klären.
Für eine Abschätzung, die auch bei kleineren [mm] \varepsilon [/mm] angewandt
werden könnte, kann man sich überlegen, dass
$\ [mm] |x_{m}-e|=\frac{1}{(m+1)!}+\frac{1}{(m+2)!}+\frac{1}{(m+3)!}+\,.......$
[/mm]
und dass in dieser Summe der erste Summand absolut
dominierend ist. Falls man erst einmal dafür sorgt, dass
dieser Summand [mm] \frac{1}{(m+1)!} [/mm] kleiner als [mm] \varepsilon=10^{-5} [/mm] wird,
ist man wohl schon nahe am Ziel. Um auf der sicheren
Seite zu sein, könnte man die obige Reihe durch eine
geometrische Reihe abschätzen.
LG Al-Chwarizmi
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