Abschätzung mit monotonie < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:07 Do 30.01.2014 | | Autor: | Boastii |
| Aufgabe | Geben Sie bitte die Bereiche an, in denen die Funktion
[mm] f: \mathbb R^+ \ni x\mapsto \frac{log(x)}{x} \in \mathbb R [/mm]
streng monoton wächst/fällt, und folgern Sie bitte daraus, dass [mm]
{\sqrt(2)}^{\sqrt(3)} < {\sqrt(3)}^{\sqrt(2)} [/mm] sowie [mm]e^\pi > \pi^e [/mm]
[/mm] |
Guten Abend.
Nun ich habe mich erst einmal mit der Monotonie befasst:
[mm] f(x)= \frac{log(x)}{x} [/mm]
[mm] f'(x)= [mm] \frac{1-log(x)}{x^2}
[/mm]
[mm] \frac{1-log(x)}{x^2} > 0 [/mm]
[mm] 1-log(x) >0 [/mm]
[mm] -log(x) > -1 [/mm]
[mm] log(x) <= 1 [/mm]
[mm] x <= e^1 = e [/mm]
So jetzt weiß ich, dass für alle Werte die in dem Intervall (0;e] liegen monoton wachsen, sodass ich sagen kann dass für [mm] x,y \in (0;e] [/mm] und [mm] x
So jetzt weiß ich aber überhaupt nicht wie ich das auf die zwei Abschätzungen anwenden soll.
Könntet ihr mir da einen Ansatz geben?
Lg Boastii
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Hallo,
logarithmiere einmal die zu zeigenden Ungleichungen und denke ein wenig über dein bisheriges Tun nach. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:28 Do 30.01.2014 | | Autor: | Boastii |
Hey danke erstmal für deine Antwort. Alles klar :
[mm] {\sqrt(2)}^{\sqrt(3)} < {\sqrt(3)}^{\sqrt(2)} ==> {e}^{ln({\sqrt(2)}^{\sqrt(3)})} < {e}^{ln({\sqrt(2)}^{\sqrt(3)})} [/mm]
Ist das erstmal so richtig?
Ich könnte doch sagen, dass die beiden Zahlen in dem Intervall liegen in dem die Funktion monoton wächst, dass ich beide Zahlen in die FUnktion einsetzen kann und dann eine Aussage über die Ungleichung machen kann?
Wäre das so der richtige Weg?
Analog würde ich dass auch mit der zweiten Ungleichung machen.
Grüße
Boastii
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Hiho,
> [mm]{\sqrt(2)}^{\sqrt(3)} < {\sqrt(3)}^{\sqrt(2)} ==> {e}^{ln({\sqrt(2)}^{\sqrt(3)})} < {e}^{ln({\sqrt(2)}^{\sqrt(3)})}[/mm]
>
> Ist das erstmal so richtig?
Du hast nicht logarithmiert, sondern umgeformt.
Der Logarithmus ist streng monoton wachsend und damit gilt:
[mm] ${\sqrt(2)}^{\sqrt(3)} [/mm] < [mm] {\sqrt(3)}^{\sqrt(2)} \gdw \ln\left({\sqrt(2)}^{\sqrt(3)}\right) [/mm] < [mm] \ln\left({\sqrt(3)}^{\sqrt(2)} \right)$
[/mm]
Und jetzt du wieder.
Du musst da nichts "sagen" sondern es fehlen nur noch 2 kleine Schritte, damit das, was du bisher getan hast, hier auch anwendbar ist.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:07 Fr 31.01.2014 | | Autor: | Boastii |
Also ich versuch und rechne hier die ganze Zeit rum und komme leider auf nichts schlüssiges. Irgendwie habe ich einen totalen Denkfehler :/.
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Hiho,
wende mal die Logarithmusgesetze an und teile dann durch den jeweiligen Vorfaktor.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:23 Fr 31.01.2014 | | Autor: | Boastii |
Ahh. Gott wie doof.
Also ich habe daraus jetzt :
[mm]{\sqrt(2)}^{\sqrt(3)}< {\sqrt(3)}^{\sqrt(2)} [/mm]
[mm] log({\sqrt(2)}^{\sqrt(3)}) < log({\sqrt(3)}^{\sqrt(2)})[/mm]
[mm] \sqrt(3) log(\sqrt(2)) < \sqrt(2) * log(\sqrt(3)) [/mm]
Jetzt einmal durch [mm] \sqrt(2) [/mm] und [mm] \sqrt(3) [/mm] geteilt und ich habe:
[mm] \frac{log(\sqrt(2))}{\sqrt(2)} < \frac{log(\sqrt(3))}{\sqrt(3)} [/mm]
Da nun [mm] \sqrt(2) [/mm] und [mm] \sqrt(3) [/mm] kleiner als [mm] e [/mm] sind und offensichtlich [mm] \sqrt(2) < \sqrt(3) [/mm] gilt. Sind die Gleichungen in einem streng monoton wachsenden Bereich von [mm] f [/mm] und damit gilt die Ungleichung.
So da wir ja auf eine wahre Aussage gekommen sind, müsste das doch damit bewiesen sein oder?
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Hiho,
> Ahh. Gott wie doof.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> So da wir ja auf eine wahre Aussage gekommen sind, müsste das doch damit bewiesen sein oder?
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:41 Fr 31.01.2014 | | Autor: | Boastii |
Vielen Dank. So einfach kann es sein :).
Schöne Nacht noch.
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