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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass, wenn die Funktionen [mm] \alpha [/mm] , [mm] \beta [/mm] , x [mm] \in [/mm] C([a,b]) für ein Intervall [a,b] [mm] \in \IR [/mm] die Ungleichung
x(t) [mm] \le \alpha(t)+\integral_{a}^{t}{\beta(\tau)x(\tau) d\tau} [/mm] (1)
erfüllt, dann kann die Funktion x durch
x(t) [mm] \le \alpha(t)+\integral_{a}^{t}\beta(\tau) \alpha(\tau) e^{\integral_{\tau}^{t}{\beta(s) ds}} d\tau [/mm] (2)
abgeschätzt werden.
Hinweis: Schätze die Ableitung von [mm] y(t)=e^{\integral_{a}^{t}{\beta(s) ds}}\integral_{a}^{t}{\beta(\tau)x(\tau) d\tau} [/mm] mit (1) ab. |
Ich habe y mit Produktregel abgeleitet und erhalte:
[mm] y'(t)=e^{\integral_{a}^{t}{\beta(s) ds}} \beta(t)x(t)-\beta(t) e^{\integral_{a}^{t}{\beta(s) ds}} \integral_{a}^{t}{\beta(\tau)x(\tau) d\tau} [/mm]
Mit der Ungleichung (1)
[mm] y'(t)\le e^{\integral_{a}^{t}{\beta(s) ds}} \beta(t)(\alpha(t)+\integral_{a}^{t}{\beta(\tau)x(\tau) d\tau})-\beta(t) e^{\integral_{a}^{t}{\beta(s) ds}} \integral_{a}^{t}{\beta(\tau)x(\tau) d\tau} [/mm]
Ausmultiplizieren:
[mm] y'(t)\le e^{\integral_{a}^{t}{\beta(s) ds}} \beta(t)\alpha(t)+e^{\integral_{a}^{t}{\beta(s) ds}} \beta(t)\integral_{a}^{t}{\beta(\tau)x(\tau) d\tau}-\beta(t) e^{\integral_{a}^{t}{\beta(s) ds}} \integral_{a}^{t}{\beta(\tau)x(\tau) d\tau} [/mm]
Die letzten beiden Terme kürzen sich weg und es gilt:
[mm] y'(t)\le e^{\integral_{a}^{t}{\beta(s) ds}} \beta(t)\alpha(t)
[/mm]
Allerdings ist mir nicht klar, wie ich von hier aus zur Ungleichung (2) komme, bzw. zeigen, dass
[mm] \integral_{a}^{t}{\beta(\tau)x(\tau) d\tau} \le \integral_{a}^{t}\beta(\tau) \alpha(\tau) e^{\integral_{\tau}^{t}{\beta(s) ds}} d\tau [/mm]
gilt.
Wäre sehr dankbar, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:53 Di 11.11.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
integriere nun von a bis t. Beachte dabei die Monotonie des Integrals, sowie y(a)=0 (und das fehlende Vorzeichen im Exponenten von
$ [mm] e^{\integral_{a}^{t}{\beta(s) ds}}$! [/mm] ).
Liebe Grüße
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