Abschätzung von Integralen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 Do 17.05.2012 | | Autor: | Qcod |
Hallo,
ich habe keine wirklich Aufgabenstellung, ist es eher etwas was ich für einen längeren Beweis benötige. Ich habe ein Integral mit 2 Funktionen g(x) und h(x).
Ich möchte dieses Integral nach oben hin abschätzen.
EDIT: h(x) [mm] \ge [/mm] 0, ist vll. wichtig.
[mm] \integral_{a}^{b}{(g(x) - g(y))*h(x) dx}
[/mm]
Kann ich sagen, bzw. folgern:
[mm] \integral_{a}^{b}{(g(x) - g(y))*h(x) dx} \le [/mm] max auf [a,b] |g(x) - g(y)| * [mm] \integral_{a}^{b}{h(x) dx}
[/mm]
Wenn ja, wieso? Wenn nein, gibt es eine andere Möglichkeit die g Funktionen vom Integral durch eine Abschätzung zu lösen?
Vielen Dank!
EDIT: h(x) [mm] \ge [/mm] 0, ist vll. wichtig.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Qcod,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo,
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> ich habe keine wirklich Aufgabenstellung, ist es eher etwas
> was ich für einen längeren Beweis benötige. Ich habe ein
> Integral mit 2 Funktionen g(x) und h(x).
> Ich möchte dieses Integral nach oben hin abschätzen.
>
> EDIT: h(x) [mm]\ge[/mm] 0, ist vll. wichtig.
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{(g(x) - g(y))*h(x) dx}[/mm]
>
> Kann ich sagen, bzw. folgern:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{(g(x) - g(y))*h(x) dx} \le[/mm] max auf [a,b]
> |g(x) - g(y)| * [mm]\integral_{a}^{b}{h(x) dx}[/mm]
>
> Wenn ja, wieso? Wenn nein, gibt es eine andere Möglichkeit
Ja, wegen dem ![[]](/images/popup.gif) Mittelwertsatz der Integralrechnung.
Um diesen anwenden zu können, muss die Funktion g stetig sein.
> die g Funktionen vom Integral durch eine Abschätzung zu
> lösen?
>
> Vielen Dank!
>
> EDIT: h(x) [mm]\ge[/mm] 0, ist vll. wichtig.
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>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:00 Fr 18.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Es geht auch ohne die Stetigkeit von g:
Sind g und h Riemannintegrierbar über [a,b] und ist h [mm] \ge [/mm] 0 auf [a,b], so gilt mit M:= max [mm] \{|g(x)-g(y)| : x \in [a,b] \}:
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{(g(x)-g(y))*h(x) dx} \le |\integral_{a}^{b}{(g(x)-g(y))*h(x) dx}| \le \integral_{a}^{b}{|g(x)-g(y)|*h(x) dx} \le \integral_{a}^{b}{M*h(x) dx}= M*\integral_{a}^{b}{h(x) dx}
[/mm]
FRED
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