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Forum "Folgen und Reihen" - Abschätzung zweier Reihen
Abschätzung zweier Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Abschätzung zweier Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:39 So 02.12.2007
Autor: marteen

Aufgabe
Sei [mm] a_{n}:=1+\bruch{1}{1!}+\ldots+\bruch{1}{n!} [/mm]

(a) Zeige für m>n gilt [mm] 0
Tip: [mm] (n+1)(n+2)\ldots(n+k)\ge(n+1)^{k} [/mm]

(b) Folgere, dass [mm] 0

Hallo,

ich hänge mal wieder in Analysis.

Ich suche seit geraumer Zeit meinen Denkfehler aber finde ihn nicht. Ich schreibe einfach mal meine Rechnung.

Wähle m = n+k

[mm] \Rightarrow a_{m}-a_{n}=\bruch{1}{(n+1)!}+\bruch{1}{(n+2)!}+ \ldots+\bruch{1}{(n+k)!} [/mm]

[mm] =\bruch{1}{n!}(\bruch{1}{(n+1)}+\bruch{1}{(n+1)(n+2)}+\ldots+ \bruch{1}{(n+1)(n+2) \ldots (n+k)} [/mm]

Jetzt habe ich den Tip angewendet

[mm] \le\bruch{1}{n!} [/mm] ( [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] +  [mm] \bruch{1}{(n+1)^{2}} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] +  [mm] \bruch{1}{(n+1)^{k}} [/mm]

= [mm] \summe_{i=1}^{k} \bruch{1}{n!} \* \bruch{1}{(n+1)^{k}} [/mm]

Indexverschiebung (ist hier vielleicht der Fehler?)

[mm] \summe_{i=0}^{k+1} \bruch{1}{n!} \* \bruch{1}{(n+1)^{k+1}} [/mm]

Dann habe ich die endlich geometrische Reihe benutzt, bzw erstmal umgeformt (hier vielleicht der Fehler?

zu: [mm] \summe_{i=0}^{k+1} \bruch{1}{n!} \* \bruch{1}{n+1} \* \bruch{1}{(n+1)^{k}} [/mm]

Jetzt die geometrische Reihe:

[mm] \bruch{1}{n! (n+1)} \* \bruch{1}{1-\bruch{1}{n+1}} [/mm]

[mm] =\bruch{1}{n!n + n!} \* \bruch{n+1}{n} [/mm]

[mm] =\bruch{n+1}{n!n^{2} + n!n} [/mm]

Ausgeklammert

[mm] =\bruch{n+1}{n!n (n+1)} [/mm]

Dann gekürzt

[mm] =\bruch{1}{n!n} [/mm]

Da habe ich das Ergebnis. Aber es ist ja nur einmal ein kleinergleich vorgekommen, kein echt-kleiner. Ich finde meinen Denkfehler nicht, hoffe, dass mir jemand helfen kann.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Abschätzung zweier Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:25 So 02.12.2007
Autor: SpoOny


> = [mm]\summe_{i=1}^{k} \bruch{1}{n!} \* \bruch{1}{(n+1)^{k}}[/mm]

kannst du nicht [mm] \bruch{1}{n!}*[/mm]  [mm]\summe_{i=1}^{k} \bruch{1}{(n+1)^{i}}[/mm]

so vorziehen?? sieht für mich einfacher aus

deine Indexverschiebung von 1 auf 0  mus doch auch bis k-1 gehen und nicht k+1   oder?

Bezug
                
Bezug
Abschätzung zweier Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:51 So 02.12.2007
Autor: marteen

Hallo Spoony,

ja ich glaube du hast recht, dass die Summe bis k-1 läuft. Aber ist es richtig in der Summe auf k+1 zu ändern?

Bezug
        
Bezug
Abschätzung zweier Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:39 So 02.12.2007
Autor: leduart

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo
der Tip hat schon ein < wenn k>1! dann hast du dein echtes <
2. wenn du das n! weglässt und direkt
$ \summe_{i=1}^{k}  \bruch{1}{(n+1)}^{k}} $

mit q=\bruch{1}{(n+1)} ist das doch $= \summe_{i=0}^{k} q^k -q^0$
das gibt dasselbe Ergebnis, aber was schneller!
Aber auch dein Weg ist fehlerfrei!
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
Abschätzung zweier Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:26 So 02.12.2007
Autor: marteen

Hallo leduart,

ist auch meine Indexverschiebung korrekt?

Mehrere Kommilitonen haben mir mittlerweile gesagt, dass ich das so nicht machen darf bzw. dass das Unfug sei [mm] (n+1)^{k} [/mm] zu [mm] (n+1)^{k+1} [/mm] zu machen.

Sie haben den Wert für k=0 (1) von der Summe abgezogen. Das erscheint mir auch relativ logisch, das Ergebnis ist allerdings das selbe.

Bezug
                        
Bezug
Abschätzung zweier Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:07 So 02.12.2007
Autor: marteen

Ich habe mir noch einmal Gedanken gemacht. Die korrekte Indexverschiebung müsste sein: $ [mm] \summe_{i=0}^{k-1} \bruch{1}{n!} [/mm] * [mm] \bruch{1}{(n+1)^{k+1}} [/mm] $ , oder verstehe ich das falsch? Ich fange um eins früher an und muss daher um eins früher aufhören, um an der Summe nichts zu ändern muss ich hier mit dem k+1'ten Glied anfangen - damit fange ich bei 1 an und höre bei k auf. Oder?

Bezug
                        
Bezug
Abschätzung zweier Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:42 So 02.12.2007
Autor: safrazap

Hallo, achte auf die Laufvariable - der Laufindex ist i, nicht k.


$ [mm] \summe_{i=0}^{k-1} \bruch{1}{n!} \cdot{} \bruch{1}{(n+1)^{\red{i} +1}} [/mm] $



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