Abschätzungen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Aus [mm] |x-x_0|< \delta [/mm] =>
|x| > [mm] \delta [/mm] - [mm] |x_0|
[/mm]
|x| < [mm] \delta [/mm] + [mm] |x_0| [/mm] |
Frage 1: Wie kommt man darauf? Wenn ich eine Fallunterscheidung mache und Äquivalenzumformungen durchführe fehlen eben komplett die Beträge :(
Frage 2 zu Epsilon-Delta-Kriterium: Darf man auch x zulassen, welche nicht im Definitionsbereich der zu untersuchenden Funktion liegen? Ich meine durch Delta schränkt man das Intervall von x ein und dann kann es sein, dass etwas undefiniertes drinliegt. :(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:23 Di 02.08.2011 | | Autor: | DM08 |
Kennst du die Dreiecksungleichung ?
[mm] |a+b|\le|a|+|b|\ \forall a,b\in\IC
[/mm]
Ich komme jedoch nicht drauf.
[mm] |x-x_0|\le|x|+|x_0|<\delta\gdw |x|<\delta-|x_0|
[/mm]
Vielleicht hilft dir das weiter
MfG
|
|
|
| |
|
Guten Morgen,
ich denke, das man hier die Dreiecksungleichung nach unten verwendet wird.
[mm] $\delta>|x-x_{0}|\geq \biggl| |x|-|x_{0}| \biggl|$
[/mm]
Jetzt löse den betrag einmal positiv und dann einmal negativ auf, das sollte die Ungleichungen liefern.
Zur zweiten Frage: $x$, die nicht im Definitionsbereich der Funktion liegen, kann man nicht verwenden, denn wie will man sonst [mm] $|f(x)-f(x_{0})|<\epsilon$ [/mm] prüfen, wenn $x$ nicht im Definitionsbereich liegt.
Außerdem geht Stetigkeit andersherum: Du gibst dir ein [mm] $\epsilon$ [/mm] vor.
Und dazu gibt es dann ein [mm] $\delta(x_{0})$, [/mm] sodass aus $ [mm] |x-x_{0}|<\delta$ [/mm] folgt, dass [mm] $|f(x)-f(x_{0})|<\epsilon$. [/mm] Das Delta kann von der Stelle abhängen, das heißt das wird so gewählt, dass die Abschätzung oben funktioniert und alle $x$ im Definitionsbereich liegen. Sonst ist die Funktion an der Stelle unstetig
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:23 Di 02.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> Aus [mm]|x-x_0|< \delta[/mm] =>
>
> |x| > [mm]\delta[/mm] - [mm]|x_0|[/mm]
Das gilt im allgemeinen nicht ! Woher hast Du diese falsche Ungleichung ?
Dass sie falsch ist sieht man z.B. , wenn [mm] x_0=0 [/mm] ist.
> |x| < [mm]\delta[/mm] + [mm]|x_0|[/mm]
Das folgt aus
[mm] $|x|=|x-x_0+x_0| \le |x-x_0|+|x_0| [/mm] < [mm] \delta +|x_0|$
[/mm]
FRED
> Frage 1: Wie kommt man darauf? Wenn ich eine
> Fallunterscheidung mache und Äquivalenzumformungen
> durchführe fehlen eben komplett die Beträge :(
>
>
> Frage 2 zu Epsilon-Delta-Kriterium: Darf man auch x
> zulassen, welche nicht im Definitionsbereich der zu
> untersuchenden Funktion liegen? Ich meine durch Delta
> schränkt man das Intervall von x ein und dann kann es
> sein, dass etwas undefiniertes drinliegt. :(
>
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
|
|
|
|
