Abschluss - Inklusion < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:44 Di 08.05.2012 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Zeigen Sie für Mengen $A,B [mm] \subset [/mm] X $ eines toplogischen Raumes $X:$
[mm] $\overline{A \cap B} \subset \overline{A} \cap \overline{B} [/mm] $
Warum gilt hier nicht die Gleichheit? |
Nun, wir haben folgende Definition bezüglich des Abschlusses gelernt, welche ich hier gleich implizit auf das Beispiel anwenden möchte.
Zu zeigen wäre also:
[mm] $x\in \overline{A \cap B}: \forall U\in \mathcal{U}(x): U\cap \overline{A\cap B}\neq \emptyset \Rightarrow x\in \overline{A \cap B}: \forall U\in \mathcal{U}(x): U\cap \overline{A}\cap \overline{B}\neq \emptyset [/mm] $
Aber, ich sehe wirklich nicht, welche Schlussfolgerungsschritte ich dazwischen machen sollte. Ich kann nur ein paar anschaulich - intuitive Erklärungen abgeben, warum die Folgerung stimmt:
In [mm] $S_1 :=\overline{A\cap B}$ [/mm] kann es sein, dass die rechte Intrvallklammer von A bzw. die linke Intervallklammer von B offen bleibt, womit diese beiden Elemente im Abschluss nicht enthalten wären, wohl aber bei:
In [mm] $S_2 [/mm] := [mm] \overline{A } \cap \overline{B} [/mm] $ schließe ich bei jedem Intervall alle Intervallklammern, es bleibt keine offen, damit ist jedes Element von [mm] $S_1$ [/mm] zwangsläufig in [mm] $S_2,$ [/mm] nicht aber umgekehrt, weil eben an der Grenze von $A$ bzw. am Anfang von $B$ es Schwierigkeiten geben könnte.
Frage: Wie kann ich das ganze formaler zeigen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:01 Di 08.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie für Mengen [mm]A,B \subset X[/mm] eines toplogischen
> Raumes [mm]X:[/mm]
> [mm]\overline{A \cap B} \subset \overline{A} \cap \overline{B}[/mm]
> Warum gilt hier nicht die Gleichheit?
> Nun, wir haben folgende Definition bezüglich des
> Abschlusses gelernt, welche ich hier gleich implizit auf
> das Beispiel anwenden möchte.
> Zu zeigen wäre also:
> [mm]x\in \overline{A \cap B}: \forall U\in \mathcal{U}(x): U\cap \overline{A\cap B}\neq \emptyset \Rightarrow x\in \overline{A \cap B}: \forall U\in \mathcal{U}(x): U\cap \overline{A}\cap \overline{B}\neq \emptyset[/mm]
Die Def. des Abschlußes hast Du nicht richtig !
Es gilt: x [mm] \in \overline{M} \gdw [/mm] für jede Umgebung U von x gilt: U [mm] \cap [/mm] M [mm] \ne \emptyset.
[/mm]
Sei also x [mm] \in \overline{A \cap B}. [/mm] Ist nun U eine Umgebung von x, so gilt:
U [mm] \cap(A \cap [/mm] B) [mm] \ne \emptyset.
[/mm]
Dann ist aber U [mm] \cap [/mm] A [mm] \ne \emptyset [/mm] und U [mm] \cap [/mm] B [mm] \ne \emptyset
[/mm]
Fazit: x [mm] \in \overline{A} [/mm] und x [mm] \in \overline{B} [/mm] .
FRED
>
> Aber, ich sehe wirklich nicht, welche
> Schlussfolgerungsschritte ich dazwischen machen sollte. Ich
> kann nur ein paar anschaulich - intuitive Erklärungen
> abgeben, warum die Folgerung stimmt:
> In [mm]S_1 :=\overline{A\cap B}[/mm] kann es sein, dass die rechte
> Intrvallklammer von A bzw. die linke Intervallklammer von B
> offen bleibt, womit diese beiden Elemente im Abschluss
> nicht enthalten wären, wohl aber bei:
> In [mm]S_2 := \overline{A } \cap \overline{B}[/mm] schließe ich bei
> jedem Intervall alle Intervallklammern, es bleibt keine
> offen, damit ist jedes Element von [mm]S_1[/mm] zwangsläufig in
> [mm]S_2,[/mm] nicht aber umgekehrt, weil eben an der Grenze von [mm]A[/mm]
> bzw. am Anfang von [mm]B[/mm] es Schwierigkeiten geben könnte.
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> Frage: Wie kann ich das ganze formaler zeigen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:06 Di 08.05.2012 | | Autor: | clemenum |
Ohh, ich sehe es! :-O
Vielen Dank für deine Hilfe, Fred 
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