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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:42 Do 10.11.2011 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Es Seien (X,d), (Y,e) zwei metrische Räume und $A [mm] \subseteq [/mm] X$, [mm] $B\subseteq [/mm] Y$.
Zeige:
[mm] $\overline{A \times B}=\overline{A} \times \overline{B}$ [/mm] und $(A [mm] \times B)^{\circ}=A^{\circ} \times B^{\circ}$. [/mm] |
Hallo,
das Ganze soll ganz elementar laufen (ohne topologische Fachbegriffe).
Der Abschluss von A ist für mich immer die Menge aller Häufungspunkte von Folgen aus A.
Könnte man nicht auch einfach so argumentieren: Ist $(x,y) [mm] \in \overline{A} \times \overline{B}$, [/mm] dann ist $x [mm] \in \overline{A}$, [/mm] d.h. es gibt eine Folge [mm] x_n [/mm] (in A [mm] \forall [/mm] n) mit x als Grenzwert und analog eine Folge [mm] y_n [/mm] (in B), die gegen y konvergiert. Die Folge [mm] (x_n,y_n) [/mm] wäre dann in [mm] $A\times [/mm] B$ und damit (x,y) ein Häufungspunkt von $A [mm] \times [/mm] B$.
Umgekehrt: Ist (x,y) im Abschluss von $A [mm] \times [/mm] B$, so kann ich Folgen finden [mm] (x_n,y_n), [/mm] die gegen (x,y) konvergieren, also [mm] x_n [/mm] insbesondere gegen x konvergiert und [mm] y_n [/mm] gegen y? Damit wäre x ein Häufungspunkt von A und y einer von B und es folgte die Behauptung.
Ist das richtig?
Wie könnte man für die inneren Punkte ansetzen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:00 Fr 11.11.2011 | | Autor: | donquijote |
> Es Seien (X,d), (Y,e) zwei metrische Räume und [mm]A \subseteq X[/mm],
> [mm]B\subseteq Y[/mm].
> Zeige:
> [mm]\overline{A \times B}=\overline{A} \times \overline{B}[/mm] und
> [mm](A \times B)^{\circ}=A^{\circ} \times B^{\circ}[/mm].
> Hallo,
>
> das Ganze soll ganz elementar laufen (ohne topologische
> Fachbegriffe).
> Der Abschluss von A ist für mich immer die Menge aller
> Häufungspunkte von Folgen aus A.
>
> Könnte man nicht auch einfach so argumentieren: Ist [mm](x,y) \in \overline{A} \times \overline{B}[/mm],
> dann ist [mm]x \in \overline{A}[/mm], d.h. es gibt eine Folge [mm]x_n[/mm]
> (in A [mm]\forall[/mm] n) mit x als Grenzwert und analog eine Folge
> [mm]y_n[/mm] (in B), die gegen y konvergiert. Die Folge [mm](x_n,y_n)[/mm]
> wäre dann in [mm]A\times B[/mm] und damit (x,y) ein Häufungspunkt
> von [mm]A \times B[/mm].
>
> Umgekehrt: Ist (x,y) im Abschluss von [mm]A \times B[/mm], so kann
> ich Folgen finden [mm](x_n,y_n),[/mm] die gegen (x,y) konvergieren,
> also [mm]x_n[/mm] insbesondere gegen x konvergiert und [mm]y_n[/mm] gegen y?
> Damit wäre x ein Häufungspunkt von A und y einer von B
> und es folgte die Behauptung.
>
> Ist das richtig?
Sieht gut aus, ich würde sagen ja.
>
> Wie könnte man für die inneren Punkte ansetzen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:56 Fr 11.11.2011 | | Autor: | wieschoo |
Lasst uns abstimmen!
Ich bin auch dafür, dass es richtig ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:25 Fr 11.11.2011 | | Autor: | Helbig |
> Wie könnte man für die inneren Punkte ansetzen?
Mache Dir klar, wie die Metrik $f$ im metrischen Raum [mm] $(X\times [/mm] Y, f)$ definiert ist.
Damit kannst Du herleiten: Wenn $U$ eine Umgebung von [mm] $x\in [/mm] X$ und $V$ eine Umgebung von [mm] $y\in [/mm] Y$ ist, so ist [mm] $U\times [/mm] V$ eine Umgebung von $(x, y)$.
Und umgekehrt: Ist $W$ eine Umgebung von $(x,y)$, so gibt es Umgebungen $U$ von $x$ und $V$ von $y$, so daß [mm] $U\times V\subset [/mm] W$ ist.
Hilft das?
Grüße,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:40 Di 15.11.2011 | | Autor: | Unk |
Es hilft so halb. Definiert man die Produktmetrik nicht immer als [mm] $f((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\max(d(x_1,x_2),e(y_1,y_2))$, [/mm] wobei d die Metrik auf X ist und e jene auf Y. Ist W dann eine [mm] $\varepsilon$ [/mm] Umgebung um $(x,y) [mm] \in [/mm] U [mm] \times [/mm] V$, so kann ich doch theoretisch Umgebungen J um x und K um y finden (beide mit Radius [mm] $\varepsilon$ [/mm] und dann ist $J [mm] \times [/mm] K [mm] \subset [/mm] W$. Da $W [mm] \subset A\times [/mm] B$, ist dann $J [mm] \subset [/mm] A$ usw.
Die andere Inklusion geht dann so ähnlich.
Ist das ok? Eine bestimmte Metrik hatten wir nämlich auf dem kartesischen Produkt eigentlich noch garnicht definiert. Kann man diesen Teil nicht auch aus [mm] $\overline{A \times B}=\overline{A}\times \overline{B} [/mm] folgern?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 Mi 16.11.2011 | | Autor: | Helbig |
> Es hilft so halb. Definiert man die Produktmetrik nicht
> immer als
> [mm]f((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\max(d(x_1,x_2),e(y_1,y_2))[/mm], wobei d
> die Metrik auf X ist und e jene auf Y. Ist W dann eine
> [mm]\varepsilon[/mm] Umgebung um [mm](x,y) \in U \times V[/mm], so kann ich
> doch theoretisch Umgebungen J um x und K um y finden (beide
> mit Radius [mm]\varepsilon[/mm] und dann ist [mm]J \times K \subset W[/mm].
> Da [mm]W \subset A\times B[/mm], ist dann [mm]J \subset A[/mm] usw.
> Die andere Inklusion geht dann so ähnlich.
> Ist das ok?
Sieht sehr gut aus!
>Eine bestimmte Metrik hatten wir nämlich auf
> dem kartesischen Produkt eigentlich noch garnicht
> definiert.
Ich meinte die Produktmetrik. Irgendeine Definition der Metrik auf dem kartesischen Produkt muß man doch haben, um die Aufgabe zu lösen.
>Kann man diesen Teil nicht auch aus [mm]$\overline{A \times B}=\overline{A}\times \overline{B}[/mm]
> folgern?
Vielleicht. Aber ich denke, das wird dann komplizierter.
Grüße,
Wolfgang
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