Abschn.weise def. Funktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | f(x) = [mm] e^x [/mm] wenn x<=0
f(x) = cos(x) + x wenn x>0
f'(x) = [mm] e^x [/mm] wenn x<=0
f'(x) = - sin(x) +1 wenn x>0 |
Hallo
Ich habe ein paar Fragen zum Ableiten von Abschnittsweise definierten Funktionen. Ich möchte gerne ganz sauber mit dem Grenzwert des Differenzenquotienten bzw. des "normaken Grenzwerts" im entsprechenden Punkt die Funktion auf stetige differenzierbarkeit testen.
Oben habe ich mal ein Beispiel gepostet, das man verwenden kann zur Demonstration.
Mir sind noch einige Punkte unklar:
a) Der kritische Punkt bei der Ableitung ist ja
der Nullpunkt. Aber warum eigentlich? Die Ableitung ist doch eigentlich für x=0 eindeutig als [mm] e^0 [/mm] definiert.
Um die Ableitung dennoch zu überprüfen muss man ja den Grenzwert des Diff'quotienten für h->0 bilden.
Muss ich jetzt da soetwas wie den rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert bilden und prüfen ob diese identisch sind? Aber h ist doch größer als 0, oder?
d.h. wie soll ich denn den Grenzwert h->0-0 bzw. h->0+0
bilden?
b) Wenn ich die Ableitung dann auf Stetigkeit im Nullpunkt testen möchte, dann muss ich doch testen ob ich den lim und die funktion vertauschen kann. Muss ich da dann auch wieder zwischen rechts- und linksseitigem GW unterscheiden? Ich schätze ja.
Könnte mir jemand mal das Beispiel ganz genau und Schritt für Schritt durchrechnen. Ich müsste mal ein sauberes Beispiel sehen, dann weiß ich wie's geht.
Über viele Erläuterungen würde ich mich freuen.
c) Eine Frage habe ich noch: Es gibt ja dieses etwas einfachere Verfahren wo man einfach nur die Gleichheit der Funktionswerte bzw. Ableitungswerte an der kritischen Stelle überprüft um dann auf Stetigkeit bzw. Differenzierbarkeit zu schließen? Warum wird dieses Verfahren nicht so gerne in der Mathematik gesehen ^^?
Was ist denn daran falsch? Oder besser gesagt: Wann kann es scheitern?
Gruß
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Hallo Bodo,
nettes Beispiel, gute Fragen. Ich hoffe, ich kann Dir weiterhelfen.
> Mir sind noch einige Punkte unklar:
> a) Der kritische Punkt bei der Ableitung ist ja
> der Nullpunkt. Aber warum eigentlich? Die Ableitung ist
> doch eigentlich für x=0 eindeutig als [mm]e^0[/mm] definiert.
Stimmt. Kritisch ist trotzdem, dass hier die Definition wechselt. Wenn man sich von rechts nähert, ist der Definitionsbereich hier ja offen. Es geht also nicht um die Frage einer möglichen stetigen Ergänzung, sondern darum, ob Funktion und ggf. Ableitung(en) hier stetig sind.
> Um die Ableitung dennoch zu überprüfen muss man ja den
> Grenzwert des Diff'quotienten für h->0 bilden.
> Muss ich jetzt da soetwas wie den rechtsseitigen und
> linksseitigen Grenzwert bilden und prüfen ob diese
> identisch sind? Aber h ist doch größer als 0, oder?
> d.h. wie soll ich denn den Grenzwert h->0-0 bzw. h->0+0
> bilden?
Normalerweise, indem Du den Grenzwert des Differenzenquotienten betrachtest, wenn h von links bzw. von rechts gegen 0 läuft. Dein h muss also keineswegs positiv sein. Alternativ und leichter einsehbar könntest Du auch einmal mit [mm] (x_0+h) [/mm] und mit [mm] (x_0-h) [/mm] arbeiten und h dann tatsächlich positiv belassen.
Hier ist aber nur der rechtsseitige Grenzwert wesentlich, von links ist der Grenzwert ja definiert: [mm] e^0=1.
[/mm]
> b) Wenn ich die Ableitung dann auf Stetigkeit im Nullpunkt
> testen möchte, dann muss ich doch testen ob ich den lim und
> die funktion vertauschen kann.
Interessante Formulierung. Was meinst Du denn damit, wenn nicht das oben schon Implizierte?
> Muss ich da dann auch wieder
> zwischen rechts- und linksseitigem GW unterscheiden? Ich
> schätze ja.
So ins Blaue: ich auch. Aber dazu müsste ich doch wissen, was Du oben meintest.
> Könnte mir jemand mal das Beispiel ganz genau und Schritt
> für Schritt durchrechnen. Ich müsste mal ein sauberes
> Beispiel sehen, dann weiß ich wie's geht.
> Über viele Erläuterungen würde ich mich freuen.
Du bekommst viele Erläuterungen, wenn Du selbst versuchst, das Beispiel durchzurechnen. Es sieht ja auch ganz so aus, als ob Du das könntest. Ehrlich, davon hast Du mehr. Hab keine Angst vor Fehlern in der Rechnung oder der Begründung, das kriegen wir dann schon alle zusammen hin. Das ist doch der Vorteil eines Forums.
> c) Eine Frage habe ich noch: Es gibt ja dieses etwas
> einfachere Verfahren wo man einfach nur die Gleichheit der
> Funktionswerte bzw. Ableitungswerte an der kritischen
> Stelle überprüft um dann auf Stetigkeit bzw.
> Differenzierbarkeit zu schließen? Warum wird dieses
> Verfahren nicht so gerne in der Mathematik gesehen ^^?
Weil es nicht sauber ist. In diesem Fall ist die Funktion von rechts betrachtet für x=0 ja nicht mehr über [mm] f(x)=\cos{x}+x [/mm] definiert. Bei x=0 können nicht beide Definitionen zutreffen, sonst hättest du zwei Funktionsvorschriften an diesem Punkt. Dafür könntest Du betrachten, ob sich an der Funktion irgendetwas ändert, wenn Du die Äquivalenz auf die andere Seite verschiebst, also [mm] f(x)=e^x [/mm] für [mm] \a{}x<0 [/mm] und [mm] f(x)=\cos{x}+x [/mm] für [mm] x\ge0.
[/mm]
> Was ist denn daran falsch? Oder besser gesagt: Wann kann es
> scheitern?
Es scheitert (mathematisch betrachtet) immer, weil eben für ein x keine zwei Funktionsdefinitionen vorliegen dürfen. Weißt Du warum?
> Gruß
Wenn nicht mehr: Grüße 
reverend
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Okay. Ich schreibe jetzt einmal auf wie ich das Beispiel rechnen würde:
a) Ist f diff'bar in [mm] x_0=0 [/mm] ?
Ansatz:
- Suche nach der linksseitigen Ableitung / dem linksseitigen Grenzwert des Diff'quotienten
Der ist aber ja aber durch die Definition vorgegeben und beträgt: f(0)= [mm] e^0 [/mm] = 1
- Suche nach der rechtsseitigen Ableitung / dem rechtsseitigen Grenzwert des Diff'quotienten.
Hier muss eine genauere Untersuchung mit dem Diff'quotienten angestrebt werden, da das rechte Intervall offen ist.
Also betrachten wir den folgenden GW für h's, die sehr nahe bei 0 liegen aber schwach-positiv sind.
[mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(0+h)-f(0)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{cos(0+h)+0+h-e^0}{h} [/mm] = 0
- Der rechtsseitige und linksseitige Grenzwer sind identisch. Also ist die Ableitung im Punkt [mm] x_0=0 [/mm] tatsächlich 0.
b) Ist f' stetig in [mm] x_0=0?
[/mm]
- Der linksseitige Grenzwert ist wieder 1.
- Der rechtsseitige Grenzwert ist wieder nicht so einfach, da das Intervall offen ist.
Zu zeigen ist:
[mm] f(\limes_{n\rightarrow0+0}x)=\limes_{n\rightarrow0+0} [/mm] f(x)
cos(0)+0 = cos(0)+0
1=1 okay!
Im Punkt b) bin ich mir etwas unsicher.
Kritik erwünscht! Bin mir nicht so sicher was der Unterschied zwischen dem Grenzwert auf der linken Seite des Gleichheitszeichens und dem Grenzwert auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens bei b). Also inwieweit diese Vertauschung überhaupt einen Einfluss haben kann. Mir war es mal klar. Aber jetzt grad nicht mehr ^^
Gruß
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Hallo,
Was ich bei mr ausnutzen möchte ist folgendes:
a) Stetigkeit in [mm] x_0=0 [/mm] zeigt man indem man
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n [/mm] = 0
voraussetzt und daraus auf [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n) [/mm] = f(0) schließe.
Dies ist doch aber gerade äquivalent zu
[mm] f(\limes_{n\rightarrow\infty} x_n) [/mm] = f(0) = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n). [/mm]
b) Ich habe einmal von der Faustregel gehört, dass wenn der linkswertige Grenzwert dem rechtsseitigen Grenzwert entspricht, dann ist die Funktion im entsprechenden Punkt stetig? Stimmt das? Und wenn ja, wie kann man das beweisen.
Gruß
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Hallo Bodo,
> Was ich bei mr ausnutzen möchte ist folgendes:
> a) Stetigkeit in [mm]x_0=0[/mm] zeigt man indem man
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm] = 0
> voraussetzt und daraus auf [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n)[/mm]
> = f(0) schließe.
> Dies ist doch aber gerade äquivalent zu
> [mm]f(\limes_{n\rightarrow\infty} x_n)[/mm] = f(0) =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n).[/mm]
Ja, ist ok. Das kannst Du ausnutzen.
> b) Ich habe einmal von der Faustregel gehört, dass wenn der
> linkswertige Grenzwert dem rechtsseitigen Grenzwert
> entspricht, dann ist die Funktion im entsprechenden Punkt
> stetig? Stimmt das? Und wenn ja, wie kann man das
> beweisen.
Das kannst Du nicht beweisen. So ist Stetigkeit definiert. Voraussetzen darfst Du es deswegen.
Grüße,
reverend
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Hallo,
ich hätte noch mal eine Frage.
Wenn die Funktion, die man auf Stetigkeit/Diff'barkeit testen soll, aus einer Reihe besteht (vielleicht ist diese Reihe sogar noch komplex). Wie geht man dann vor?
Man darf ein Beispiel bringen.
Gruß
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hi, kurze zusätzliche Frage...
Wenn man weiß, das für alle z in X [mm] |f_n(z)-f_m(z)|< \varepsilon [/mm] wenn n>m>N gilt. Kann man dann sagen,
dass auch für alle z in X [mm] sup(|f_n(z)-f_m(z)|) [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] wenn n>m>N. Ich denke schon, da die zweite Aussage ja nur ein Spezialfall der ersten ist. Wenn der Abstand zweier Folgeglieder für alle denkbaren zwei Folgenglieder kleiner als Epsilon ist, so muss ja insbesondere auch der größte Abstand der überhaupt vorhanden ist kleiner als epsilon sein.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 Mi 04.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> hi, kurze zusätzliche Frage...
> Wenn man weiß, das für alle z in X [mm]|f_n(z)-f_m(z)|< \varepsilon[/mm]
> wenn n>m>N gilt. Kann man dann sagen,
> dass auch für alle z in X [mm]sup(|f_n(z)-f_m(z)|)[/mm] <
> [mm]\varepsilon[/mm] wenn n>m>N.
Da mußt Du vorsichtig sein !!
Es gilt nur: [mm]sup(|f_n(z)-f_m(z)|)[/mm] [mm] \le[/mm] [mm]\varepsilon[/mm] wenn n>m>N.
also "kleiner gleich"
Z. B. ist $1-1/n < 1$ für jedes n [mm] \in \IN, [/mm] aber
sup{ 1-1/n: n [mm] \in \IN [/mm] } = 1
FRED
>Ich denke schon, da die zweite
> Aussage ja nur ein Spezialfall der ersten ist. Wenn der
> Abstand zweier Folgeglieder für alle denkbaren zwei
> Folgenglieder kleiner als Epsilon ist, so muss ja
> insbesondere auch der größte Abstand der überhaupt
> vorhanden ist kleiner als epsilon sein.
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Wenn ich das richtig sehe, muss das "kleiner gleich" gefordert werden, weil der Grenzwert selbst - also das Supremum - nicht in der entsprechenden Menge liegen muss.
Oder was ist die exakte Begründung?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:21 Fr 06.02.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Do 05.02.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
