Abschnitt 5.1, Aufgabe 4 < Kap 1: El. Gruppenth < Algebra-Kurs 2006 < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 11:59 Fr 22.09.2006 | | Autor: | felixf |
| Aufgabe |
Sei $G$ eine endliche Gruppe, $U [mm] \subseteq [/mm] G$ eine Untergruppe und [mm] $N_U$ [/mm] der Normalisator von $U$ in $G$. Setze $M := [mm] \bigcup_{g\in G} [/mm] g U [mm] g^{-1}$.
[/mm]
(i) Beweise $|M| [mm] \le [/mm] (G : [mm] N_U) \cdot [/mm] |U|$.
(ii) Sei $U [mm] \neq [/mm] G$. Zeige, dass dann auch $M [mm] \neq [/mm] G$ ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:31 Fr 29.09.2006 | | Autor: | just-math |
Hola,
was ist H ? Kann ich nicht finden Definicion von dieses Objekt in Aufgabe.
Wenn ich selber wählen darf dann Aufgabe wird es einfach.
Liebe Gruss
just-math
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:56 Fr 29.09.2006 | | Autor: | statler |
Hallo just-math!
> was ist H ? Kann ich nicht finden Definicion von dieses
> Objekt in Aufgabe.
Sehr aufmerksam, Fehler unsererseits, es ist H = U, Aufg. ist korrigiert.
> Wenn ich selber wählen darf dann Aufgabe wird es einfach.
Liebe Grüße aus HH-Harburg
Dieter
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Hola e muchos gracias Dieter,
ok, dann ist für alle [mm] g\in [/mm] G [mm] |gUg^{-1}|=|U|, [/mm] weil nämlich [mm] \varphi_g(x)=gxg^{-1} [/mm] definiert eine innere Automorphismus von G.
Also mussen wir zeigen dass Anzahl von verschiedene Konjugacionsklassen ist es hóchstens [mm] (G\colon N_U).
[/mm]
Sei also Menge von Linksnebenklassen in G von [mm] N_U [/mm] gleich [mm] \{[g_1],\ldots ,[g_n]\}.
[/mm]
Also [mm] [g_i] [/mm] = [mm] \{g\in G|\:\: g_iN_U=gN_U\}=\{g\in G|g^{-1}g_i\in N_U\}
[/mm]
Behauptung: wenn [mm] g\in [g_i], [/mm] dann folgt es [mm] gUg^{-1}=g_iUg_i^{-1}.
[/mm]
Beweis von dieses Behauptung: Ist es [mm] g^{-1}g_iUg_i^{-1}g=U, [/mm] also [mm] g_iUg_i^{-1}=gUg^{-1}.
[/mm]
Damit wenn zwei Elemente von das Gruppe G liegen in selbes Linksnebenklasse von [mm] N_U, [/mm] sie auch definieren selbes Konjugacionsklasse
von U.
Also ist es gezeigt (i).
Zu (ii): Sei also M=G. Die Mengen [mm] gUg^{-1} [/mm] sind es Gruppen, und sie alle enthalten das neutrale Element e von das Gruppe G.
Wenn M=G, dann also
[mm] 1+\sharp(Konjugacionsklassen\:\: von\:\: U)\cdot [/mm] (|U|-1) [mm] \geq [/mm] |G|
und aus (i) wir haben schon es gelernt dass [mm] \sharp(Konjugacionsklassen\:\: von\:\: [/mm] U) ist [mm] \leq (G\colon N_U), [/mm] also
1+ [mm] (G\colon N_U)\cdot [/mm] (|U|-1) [mm] \geq [/mm] |G|
Aber [mm] U\subseteq N_U, [/mm] somit [mm] (G\colon U)\geq (G\colon N_U) [/mm] und das wir setzen ein und erhalten wir es
1+ [mm] (G\colon U)\cdot (|U|-1)\geq [/mm] |G|
aber es gilt ja [mm] (G\colon U)\cdot [/mm] |U|=|G| und dann ist es Widerspruch wenn [mm] (G\colon U)\geq [/mm] 2.
Liebe Gruss
just-math
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:25 So 08.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hi just-math!
> ok, dann ist für alle [mm]g\in[/mm] G [mm]|gUg^{-1}|=|U|,[/mm] weil nämlich
> [mm]\varphi_g(x)=gxg^{-1}[/mm] definiert eine innere Automorphismus
> von G.
>
> Also mussen wir zeigen dass Anzahl von verschiedene
> Konjugacionsklassen ist es hóchstens [mm](G\colon N_U).[/mm]
>
> Sei also Menge von Linksnebenklassen in G von [mm]N_U[/mm] gleich
> [mm]\{[g_1],\ldots ,[g_n]\}.[/mm]
>
> Also [mm][g_i][/mm] = [mm]\{g\in G|\:\: g_iN_U=gN_U\}=\{g\in G|g^{-1}g_i\in N_U\}[/mm]
>
> Behauptung: wenn [mm]g\in [g_i],[/mm] dann folgt es
> [mm]gUg^{-1}=g_iUg_i^{-1}.[/mm]
>
> Beweis von dieses Behauptung: Ist es [mm]g^{-1}g_iUg_i^{-1}g=U,[/mm]
> also [mm]g_iUg_i^{-1}=gUg^{-1}.[/mm]
>
> Damit wenn zwei Elemente von das Gruppe G liegen in selbes
> Linksnebenklasse von [mm]N_U,[/mm] sie auch definieren selbes
> Konjugacionsklasse
> von U.
>
> Also ist es gezeigt (i).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Zu (ii): Sei also M=G. Die Mengen [mm]gUg^{-1}[/mm] sind es Gruppen,
> und sie alle enthalten das neutrale Element e von das
> Gruppe G.
>
> Wenn M=G, dann also
>
> [mm]1+\sharp(Konjugacionsklassen\:\: von\:\: U)\cdot[/mm] (|U|-1)
> [mm]\geq[/mm] |G|
>
> und aus (i) wir haben schon es gelernt dass
> [mm]\sharp(Konjugacionsklassen\:\: von\:\:[/mm] U) ist [mm]\leq (G\colon N_U),[/mm]
> also
>
> 1+ [mm](G\colon N_U)\cdot[/mm] (|U|-1) [mm]\geq[/mm] |G|
>
> Aber [mm]U\subseteq N_U,[/mm] somit [mm](G\colon U)\geq (G\colon N_U)[/mm]
> und das wir setzen ein und erhalten wir es
>
> 1+ [mm](G\colon U)\cdot (|U|-1)\geq[/mm] |G|
>
> aber es gilt ja [mm](G\colon U)\cdot[/mm] |U|=|G| und dann ist es
> Widerspruch wenn [mm](G\colon U)\geq[/mm] 2.
Genau :)
LG Felix
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