Absolut konvergente Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 Mo 05.06.2017 | | Autor: | Gina2013 |
| Aufgabe | | Die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_{k}b_{k} [/mm] ist absolut konvergent, wenn die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(b_{k}-b_{k+1} [/mm] absolut konvergent ist und die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\intfy}a_{k} [/mm] wenigstens bedingt konvergent ist. |
Diesen Satz ist so bewiesen:
da [mm] A_{k}=\summe_{i=1}^{k}a_{i} [/mm] sicher beschränkt ist,
konvergiert auf Grund der Voraussetzungen und nach dem Satz:" Wenn [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] absolut kvgte Reihe und bilden die Faktoren [mm] b_{n} [/mm] eine beschränkte Zahlenfolge, so ist auch die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n}b_{n} [/mm] absolut konvergent":
auch [mm] \summe_{k=1}^{\infty}A_{k}(b_{k}-b_{k+1}).
[/mm]
Und weil [mm] (b_{0}-b_{1})+(b_{1}-b_{2})+....+(b_{n-1}-b_{n})=b_{0}-b_{n} [/mm] für n gegen [mm] \infty [/mm] gegen einen GW strebt, so ist lim [mm] b_{n} [/mm] vorhanden; wegen der vorausgesetzten Existenz von lim [mm] A_{n} [/mm] ist also auch lim [mm] A_{n}b_{n+1} [/mm] vorhanden (Abelsche partielle Summation).
Mir ist nicht ganz klar, warum [mm] b_{n} [/mm] konvergiert? Ich hätte aus der absolute Konvergenz die bedingte Konvergenz gefolgert, aber weiß nicht wie man das richtig aufschreibt und ob ich überhaupt den richtigen Ansatz habe?
Für jede Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 Mo 05.06.2017 | | Autor: | andyv |
Hallo
Die Folge [mm] $(B_n)$ [/mm] mit [mm] $B_n:=\sum_{k=1}^n (b_k-b_{k+1})=b_1-b_{n+1}$ [/mm] konvergiert nach Voraussetzung. Also konvergiert auch [mm] $(b_n)$.
[/mm]
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Mo 05.06.2017 | | Autor: | Gina2013 |
Vielen Dank, ich dachte mir schon, dass es einfach ist, als ich gedacht habe:)
Eine andere Frage habe ich noch, wenn [mm] b_k [/mm] gegen 0 strebt und die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_k [/mm] beschränkte Teilsummen hat.
Mein Ansatz: [mm] b_k [/mm] ist konvergent und wie zeige ich dass die beschränkte Summen monoton sind, damit ich auch auf die Konvergenz kommen kann?
Oder brauche ich das gar nicht, sondern nach dem obigen Satz, folgt die Behauptung?
Ich wäre sehr dankbar für die weitere Hilfe.
Gruß Gina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 Mo 05.06.2017 | | Autor: | andyv |
$ [mm] (A_{n}b_{n+1}) [/mm] $ ist konvergent, da [mm] (b_n) [/mm] konvergent und [mm] $(A_n)$ [/mm] beschränkt ist.
Ebenso ist [mm] $\sum_{k=1}^{\infty}A_{k}(b_{k}-b_{k+1}) [/mm] (absolut) konvergent.
Mit Abelscher Summation folgt schliesslich die (absolute) Konvergenz von [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_{k}b_{k}
[/mm]
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 Mo 05.06.2017 | | Autor: | Gina2013 |
hallo alle zusammen,
eine Frage habe ich noch, verstehe nicht ganz wie man auf [mm] (A_{n}b_{n+1}) [/mm] ?
Ich weiß nicht, warum bei b der Index größer ist?
Gruß Gina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:16 Di 06.06.2017 | | Autor: | andyv |
Genauer brauchst du die Konvergenz von [mm] $(A_{n}b_{n})$, [/mm] da [mm] $\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}=A_{n}b_{n}+\sum _{k=1}^{n-1}A_{k}(b_{k}-b_{k+1})$.
[/mm]
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:25 Mo 05.06.2017 | | Autor: | Gina2013 |
Super! Vielen Dank noch mal!
Ich denke wahrscheinlich zu kompliziert, dass ich einfachen Sachen übersehe.
Viele Grüße
Gina
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