(Absolute) Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 Di 25.11.2008 | | Autor: | Amsel81 |
| Aufgabe | Welche der folgenden Reihen konvergiert? Welche konvergiert absolut? Begründen Sie Ihre Aussage.
a) [mm] \summe\bruch{n}{2^n},
[/mm]
b) [mm] \summe\bruch{2^n+1}{3^n-4},
[/mm]
c) [mm] \summe(-1)^n\bruch{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{n},
[/mm]
d) [mm] \summe\vektor{5n\\ 4n}^{-1}, [/mm] |
Hallo,
diesmal etwas mehr. Habe den gesamten tag - auch an anderen Aufgaben - darüber gegrübelt...
Ich stelle erstmal vor, was ich bereits habe:
1) Konvergenzkriterium: [mm] |a_{n}-a|<\varepsilon
[/mm]
2)absolute Konv.:Eine Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n} [/mm] heißt absolut konvergent, falls die Reihe der Absolutbeträge [mm] \summe_{n=0}^{\infty}|a_{n}| [/mm] konvergiert.
Damit kann ich zu meinem Unglück schon mal wenig anfangen, zumal ich schon bei der Konvergenz das Problem habe für a etwas einzusetzen. man sagte mir, a sei der Grenzwert. Wenn ich aber einen Grenzwert bereits bestimmen konnte, dann ist doch das mit der Konv. Quatsch, denn wo kein Grenzwert, da auch keine Konv....Oder nicht (gibt 's da bei den alternierenden bspw. ne Ausnahme?)?
O.k. Erstmal weiter...
a)
[mm] \summe\bruch{n}{2^n}=0+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}+\bruch{3}{8}+...+\bruch{n}{2^n}
[/mm]
1. Variante)
Also, da ich ja dieses a benötige, wende ich erstmal den Limes an:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{2^n}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}n*\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2^n}
[/mm]
Ich weiß, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}=o
[/mm]
Somit gilt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}n*\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2^n}=n*0=0,
[/mm]
was aber sicher falsch ist, da [mm] n\not=2^n. [/mm] Aber es strebt ja dennoch gegen 0, da der Nenner größer ist, als der Zähler!
2. Variante)
Abschätzung (habe ich allerdings nicht wirklich gerafft...)
[mm] o\le\bruch{1}{2^n}\le\bruch{1}{k^n}\le\bruch{2}{k(k+1)} \forall k\in\IN
[/mm]
Den Grenzwert von [mm] \bruch{2}{k(k+1)} [/mm] kennen wir schon...
Mehr ist mir zu a) nicht eingefallen...:-(
b)
Ich schaue mir zuerst die am schnellsten wachsenden Glieder an. Das sind im Zähler [mm] 2^n [/mm] und im Nenner [mm] 4^n [/mm] und schließe darauf, dass der Nenner schneller irgendwohin strebt, als der Zähler. wenn ich den Limes anwende, dann strebt diese Folge gegen 0, oder? Etwas strange ist, dass für n=1 -3 herauskommt. Danach werden die Glieder positiv und schließlich auch wieder kleiner...
Eine weitere Überlegung ist, dass die +1 und -4 sicher eine Rolle spielen..., so dass aber dennoch gilt:
[mm] (2^n+1)<(3^n-4) \forall [/mm] n > 2
c)
[mm] (-1)^n [/mm] ist bekannt und alternierend. Könnte man nicht direkt darauf schließen, dass die Folge dann auch alterniert, also nicht wirklich einen Grenzwert hat? Oder muss ich das zerlegen?
[mm] \summe(-1)^n\bruch{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{n}
[/mm]
= [mm] (-1)^n*(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})*\bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] =(-1)^n*\bruch{(\wurzel{n+1})^2-(\wurzel{n})^2}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}*\bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] =(-1)^n*\bruch{n+1-n}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}*\bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] =(-1)^n*\bruch{1}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}*\bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] =(-1)^n*\bruch{1}{\wurzel{n^2}*(\wurzel{\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^2}}+\wurzel{\bruch{1}{n}})}*\bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] =(-1)^n*\bruch{1}{{n}*(\wurzel{\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^2}}+\wurzel{\bruch{1}{n}})}*\bruch{1}{n}
[/mm]
Wir wissen: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}=0
[/mm]
Dann wäre das gesamte Ding 0...das kann doch nicht stimmen...
Oder kann ich einfach sagen: da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(-1)^n [/mm] für gerade n/ungerade n gen [mm] \pm1 [/mm] strebt, ist die Folge alternierend und besitzt damit einen ähnlich GW wie [mm] (-1)^n?
[/mm]
d)
[mm] \summe\vektor{5n\\ 4n}^{-1}
[/mm]
[mm] =(\bruch{(5n)!}{(4n)!(5n-4n)!})^{-1}
[/mm]
[mm] =(\bruch{(5n)!}{(4n)!(n)!})^{-1}
[/mm]
[mm] =\bruch{(4n)!(n)!}{(5n)!}
[/mm]
Kann ich da noch irgendwas kürzen oder multiplizieren?
Überlegung: Zähler ist größer als Nenner...?
So puh......Ich glaub', ich habe generell einige Dinge nicht verstanden. Ich habe bisher weder das Konv.krit., noch das Krit. für absolute Konv. angewendet und weiß ehrlich gesagt auch nicht genau wie. Bei ähnlich Aufgaben hatte ich bisher immer dieselben Probleme...
Danke für jede Hilfe...Auch für generelle "Ermahnungen"  bzgl. meiner Vorgehensweise bin ich nur dankbar, falls...
Thx Amsel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:08 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Amsel,
> Welche der folgenden Reihen konvergiert? Welche konvergiert
> absolut? Begründen Sie Ihre Aussage.
>
> [mm]a)\summe\bruch{n}{2^n},[/mm]
>
> [mm]b)\summe\bruch{2^n+1}{3^n-4},[/mm]
>
> [mm]c)\summe(-1)^n\bruch{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{n},[/mm]
>
> [mm]d)\summe\vektor{5n\\ 4n}^{-1},[/mm]
> Hallo,
>
> diesmal etwas mehr. Habe den gesamten tag - auch an anderen
> Aufgaben - darüber gegrübelt...
>
> Ich stelle erstmal vor, was ich bereits habe:
>
> 1) Konvergenzkriterium: [mm]|a_{n}-a|<\varepsilon[/mm]
>
> 2)absolute Konv.:Eine Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}[/mm]
> heißt absolut konvergent, falls die Reihe der
> Absolutbeträge [mm]\summe_{n=0}^{\infty}|a_{n}|[/mm] konvergiert.
>
> Damit kann ich zu meinem Unglück schon mal wenig anfangen,
> zumal ich schon bei der Konvergenz das Problem habe für a
> etwas einzusetzen.
das wird allgmein ein Problem sein. Insbesondere bei Reihen wirst Du häufig nur Aussagen treffen können, ob die Reihe konvergiert oder nicht. Die konkrete Berechnung des GW kann da sehr kompliziert werden.
> man sagte mir, a sei der Grenzwert. Wenn
> ich aber einen Grenzwert bereits bestimmen konnte, dann ist
> doch das mit der Konv. Quatsch, denn wo kein Grenzwert, da
> auch keine Konv....Oder nicht (gibt 's da bei den
> alternierenden bspw. ne Ausnahme?)?
Schau' nochmal nach, wie der Begriff der Konvergenz und des Grenzwertes definiert ist. Zudem solltet ihr bewiesen haben, dass, wenn eine Folge (oder eine Reihe, was auch erstmal nur die Folge ihrer Teilsummen ist) konvergiert, dann ist der Grenzwert eindeutig (jedenfalls in [mm] $\IR$ [/mm] oder [mm] $\IC$ [/mm] versehen mit der vom Betrag induzierten Metrik).
Wie sollte es da Ausnahmen geben?
> O.k. Erstmal weiter...
>
> a)
> [mm]\blue{s_n=\sum_{k=0}^n \frac{k}{2^k}}[/mm]
[mm] $\red{\summe\bruch{n}{2^n}}$ $\leftarrow$ das bitte vergessen!
> [/mm] [mm]=0+\bruch{1}{2}+\blue{\bruch{2}{4}}+\bruch{3}{8}+...+\bruch{n}{2^n}[/mm]
Lass' hier besser $2/4$ stehen, das Kürzen macht das ganze hier eher unleserlicher.
> 1. Variante)
> Also, da ich ja dieses a benötige, wende ich erstmal den
> Limes an:
Das benötigst Du nicht. Zudem berechnest Du unten nicht den Grenzwert der Reihe [mm] $\sum \frac{n}{2^n}$, [/mm] sondern den der Folge [mm] $\left(\frac{n}{2^n}\right)_{n \in \IN_0}$.
[/mm]
Und würdest Du [mm] $\sum \frac{n}{2^n}$ [/mm] in "Pünktchenschreibweise" schreiben, so müßtest Du
[mm] $\sum_{n=0}^\infty \frac{n}{2^n}=0+\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+...+\frac{k}{2^k}+\blue{...}$ [/mm] schreiben. Erst die Pünktchen am Ende machen ersichtlich, dass hier die Reihe gemeint ist!
[mm] $1+\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+...+\frac{n}{2^n}$ [/mm] wäre als [mm] $\sum_{k=1}^n \frac{k}{2^k}$ [/mm] zu interpretieren, also das $n$-te Folgeglied der Reihe [mm] $\sum \frac{k}{2^k}$.
[/mm]
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{2^n}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}n*\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2^n}[/mm]
>
> Ich weiß, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}=o[/mm]
>
> Somit gilt
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}n*\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2^n}=n*0=0,[/mm]
Ja, aber das sagt uns nur, dass das notwendige Kriterium für die Konvergenz der Reihe erfüllt ist. Das ist aber kein hinreichendes Kriterium für die Konvergenz einer Reihe (Bsp: [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ [/mm] divergiert bestimmt gegen [mm] $\infty$, [/mm] obwohl $1/n [mm] \to [/mm] 0$.)
> was aber sicher falsch ist, da [mm]n\not=2^n.[/mm]
Was ist das nun für ein Argument?
> Aber es strebt ja
> dennoch gegen 0, da der Nenner größer ist, als der Zähler!
??? [mm] $\frac{n}{2n}=1/2 \to [/mm] 1/2$ und hier ist auch der Nenner größer als der Zähler.
Dass [mm] $n/2^n \to [/mm] 0$, folgt, wenn man [mm] $2^n=(1+1)^n=\sum_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] \ge [/mm] {n [mm] \choose [/mm] 0}+{n [mm] \choose [/mm] 1}+{n [mm] \choose [/mm] 2} [mm] \ge [/mm] {n [mm] \choose 2}\;\;\;(> [/mm] 0)$ für $n [mm] \ge [/mm] 2$ benutzt. Da braucht man nun noch ein bis zwei Schritte, aber Du sollst erstmal selbst drüber nachdenken.
> 2. Variante)
>
> Abschätzung (habe ich allerdings nicht wirklich
> gerafft...)
>
> [mm]o\le\bruch{1}{2^n}\le\bruch{1}{k^n}\le\bruch{2}{k(k+1)} \forall k\in\IN[/mm]
Das ist auch alles total unklar. Woher kommen die Abschätzungen, also wie begründest Du sie, und was würde Dir das bringen?
(Eine divergente Majorante? (Es geht ja eigentlich um [mm] $\sum \frac{\green{n}}{2^n}$) [/mm] Na super, würde nichts helfen.)
Und meines Erachtens ist [mm] $\frac{1}{2^n} [/mm] > [mm] \frac{1}{k^n}$ [/mm] für alle $k > 2$ und $n [mm] \in \IN$, [/mm] wobei $0 [mm] \notin \IN$.
[/mm]
> Den Grenzwert von [mm]\bruch{2}{k(k+1)}[/mm] kennen wir schon...
> Mehr ist mir zu a) nicht eingefallen...:-(
Das ist leider schlecht. Und leider machst Du oben einen der schlimmsten Fehler, die man begehen kann:
Du guckst auch nirgends in Deine Unterlagen und hast die Vorlesung nicht nachgearbeitet, sondern willst da irgendwie selbst dran herumdoktorn. Aber es ist viel wichtiger, die Vorlesung, die Aussagen und deren Beweise, zu verstehen. Dann könntest Du das nämlich auch hier direkt anwenden.
Tipp zu a):
Wurzel- oder Quotientenkriterium (beim [mm] $\sqrt{\;}$-Kriterium [/mm] solltest Du [mm] $\sqrt[n]{n} \to [/mm] 1$ beachten!)
> b)
>
> Ich schaue mir zuerst die am schnellsten wachsenden Glieder
> an. Das sind im Zähler [mm]2^n[/mm] und im Nenner [mm]4^n[/mm] und schließe
> darauf, dass der Nenner schneller irgendwohin strebt, als
> der Zähler. wenn ich den Limes anwende, dann strebt diese
> Folge gegen 0, oder? Etwas strange ist, dass für n=1 -3
> herauskommt. Danach werden die Glieder positiv und
> schließlich auch wieder kleiner...
Was bringt Dir das? Worauf willst Du hinaus?
> Eine weitere Überlegung ist, dass die +1 und -4 sicher eine
> Rolle spielen..., so dass aber dennoch gilt:
>
> [mm](2^n+1)<(3^n-4) \forall[/mm] n > 2
Na und? Du musst argumentieren. Du machst hier irgendwelche Feststellungen, sagst aber an keiner Stelle, in welchem Bezug sie zur Aufgabe stehen.
Hier solltest/kannst Du Dir überlegen:
Würde [mm] $\summe\bruch{2^n+1}{3^n-4}$ [/mm] konvergieren, so müsste (notwendigerweise) [mm] $\bruch{2^n+1}{3^n-4} \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] gelten (Trivialkriterium).
Jetzt zeige, dass aber [mm] $\bruch{2^n+1}{3^n-4} \not\to [/mm] 0$.
> c)
>
> [mm](-1)^n[/mm] ist bekannt und alternierend. Könnte man nicht
> direkt darauf schließen, dass die Folge dann auch
> alterniert, also nicht wirklich einen Grenzwert hat? Oder
> muss ich das zerlegen?
Oh Gott, ich streiche das einfach mal... da habe ich keine Lust, unnötige Rechnungen zu kontrollieren.
[mm]=(-1)^n*\bruch{1}{{n}*(\wurzel{\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^2}}+\wurzel{\bruch{1}{n}})}*\bruch{1}{n}[/mm]
>
>
> Wir wissen: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}=0[/mm]
>
> Dann wäre das gesamte Ding 0...
Wieso? Was machst Du hier wieder? Und meinst Du den Grenzwert der Reihe? Ich blicke gar nicht mehr durch, was und warum Du was gerechnet hast. Welchen Bezug hat das zur Aufgabe?
So als Tipp:
$ [mm] \summe(-1)^n\bruch{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{n}=\summe(-1)^n\left\{\bruch{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{n}*\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\right\}$ [/mm]
(Weiterrechnen!)
Dann liefert ![[]](/images/popup.gif) Leibniz sofort die Konvergenz der Reihe, bei der absoluten Konvergenz könnte man mit einem gewissen Wissen und dem Majo-Kr. argumentieren.
(Wenn man direkt die absolute Konvergenz nachweist, folgt daraus auch die Konvergenz, dann bräuchtest Du also Leibniz erst gar nicht!)
Vielleicht kann man die absolute Konvergenz auch direkter begründen.
> Oder kann ich einfach sagen: da
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(-1)^n[/mm] für gerade n/ungerade n
> gen [mm]\pm1[/mm] strebt, ist die Folge alternierend und besitzt
> damit einen ähnlich GW wie [mm](-1)^n?[/mm]
Nö, wegen Leibniz konvergiert ja [mm] $\sum (-1)^n \frac{1}{n}$, [/mm] während [mm] $\sum [/mm] 1/n$ (z.B. wegen Cauchy) (bekanntlich) divergiert.
Aufgabe d) ist mir jetzt leider zu mühselig. Leider führen Deine Ansätze auch meist zu nichts bzw. es fehlen überall Argumente, worauf Du eigentlich hinauswillst.
Du solltest Dir das Handwerkszeug, was Du in der Vorlesung lernst, angucken und zu Gemüte führen, damit Du die Konvergenzkriterien für Reihen im Schlaf beherrschst.
Es bringt nichts, wenn Du hier blind einfach irgendwelche Rechnungen durchführst, wo Du selbst noch nichtmal weißt, wozu sie nützen sollen.
So mal in Deiner Argumentation (Das folgende rotmarkierte ist selbstverständlich falsch, ich möchte nur demonstrieren, wie hier argumentiert wurde):
[mm] [red]$\red{\sum_{n=1}^\infty 1/n=0}$, [/mm] weil $1/n [mm] \to [/mm] 0$[/red]
(Dass einzige, was hier stimmt, ist das $1/n [mm] \to [/mm] 0$.)
Das ist schon alleine deshalb Unsinn, weil für $N [mm] \ge [/mm] 2$ gilt:
[mm] $\sum_{n=1}^N [/mm] 1/n=1+1/2+...+1/N [mm] \ge 1+1/2=3/2\,,$ [/mm] und [mm] $\left(\sum_{n=1}^N 1/n\right)_{N \in \IN}$ [/mm] monoton wachsend ist.
In Wahrheit gilt, dass die Reihe [mm] $\sum_{n=1}^\infty [/mm] 1/n$ gegen [mm] $\infty$ [/mm] konvergiert (oder in einer anderen Ausdrucksweise: bestimmt gegen [mm] $\infty$ [/mm] divergiert).
Also:
Vorlesung angucken, Beweise angucken, Beweise verstehen, Beweise lernen, Aussagen lernen; notfalls beim Blick auf eine konkrete Reihe nochmal die Aussagen angucken; testen, welches Kriterium klappt etc.
Solange Du die Vorlesung und alle Euch zur Verfügung stehenden Aussagen nicht verinnerlicht hast, wirst Du immer "irgendwie" auf eine Aufgabe losgehen, ohne überhaupt zu wissen, welchen Sinn das hat, was Du da versuchst. Das ist so ziemlich die schlechteste Strategie. Anstatt das Werkzeug zu benutzen, und zu lernen, wann und warum und wo Du es benutzen darfst, versuchst Du Dir selbst ein Werkzeug zu basteln. Nur ist es bei Dir so, dass Du quasi mit einem Blatt Papier versuchst, einen Nagel in die Wand zu hauen, anstatt dies mit dem Hammer oder wenigstens dem stabilen Stein, den man Dir auch zur Verfügung gestellt hat, zu machen bzw, versuchen.
Ich will damit sagen: Versuch' Dich nicht daran, neue Methoden zu entwickeln, wo Du immer wieder merkst, dass da Unsinn bei rauskommt (es ist zwar generell nicht schlecht, neue Methoden zu entwickeln; aber Du wirst erst im Laufe der Zeit auch ein Gefühl dafür bekommen, wie man so etwas "richtig" macht und dafür musst Du auch erstmal einiges an Grundlagen (verstanden) haben) . Sondern benutze erstmal das, was man Dir zur Verfügung gestellt hat.
Erst, wenn Du mit dem Werkzeug im einzelnen nicht weiter kommst, dann solltest Du vll. versuchen, ein paar Werkzeuge zu kombinieren oder nach und nach anzuwenden. Die Mathematik ist quasi ein geistlichesiges Handwerk
Gruß,
Marcel
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hallo,
ich weiß der thread ist schon jahre alt,
aber da ich mich grade auf eine klausur vorbereite habe, suche ich halt nach aufgaben mit lösungen ;)
zu aufgabenteil a)
ich habe mit dem quotientenkriterium angefangen:
[mm] \bruch{n+1}{2^{n+1}} [/mm] * [mm] \bruch{2^n}{n} [/mm]
dann folgt
[mm] \bruch{n+1}{2n} [/mm] = [mm] \bruch{1+\bruch{1}{n}}{2}
[/mm]
und der grenzwert von dem ganzen kram für n gegen unendlich ist 1/2
ist damit dann schon gezeigt das die reihe absolut konvergent ist?
wäre nett, wenn sich jmd dazu äußern kann, auch wenn das schon bisschen her ist ;)
danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Mo 21.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> hallo,
>
> ich weiß der thread ist schon jahre alt,
> aber da ich mich grade auf eine klausur vorbereite habe,
> suche ich halt nach aufgaben mit lösungen ;)
>
> zu aufgabenteil a)
>
> ich habe mit dem quotientenkriterium angefangen:
>
> [mm]\bruch{n+1}{2^{n+1}}[/mm] * [mm]\bruch{2^n}{n}[/mm]
>
> dann folgt
> [mm]\bruch{n+1}{2n}[/mm] = [mm]\bruch{1+\bruch{1}{n}}{2}[/mm]
> und der grenzwert von dem ganzen kram für n gegen
> unendlich ist 1/2
> ist damit dann schon gezeigt das die reihe absolut
> konvergent ist?
Ja
FRED
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> wäre nett, wenn sich jmd dazu äußern kann, auch wenn das
> schon bisschen her ist ;)
> danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:20 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Amsel!
Bei Teilaufgabe d.) hast Du ja schon richtig umgeformt. Wende nun auf diese Reihe das Quotientenkriterium an.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:54 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Amsel81 |
Hi,
hast schon recht...(oh weh)...ich probiers noch mal von vorn und danke euch...
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