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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Beliar |
| Aufgabe | Bestimme den Abstand des Punktes A von der Ebene
a) A(7;1,0) E: [mm] -4x_{1}+2x_{2}+4x_{3}-9=0
[/mm]
b) A(2;2;9) Ebene durch B(3;-2;1) C(1;-4;1) D(0;2;5) |
Hallo,
also a) habe ich so gelöst: E umgeschrieben sieht so aus
[mm] h=\bruch{-4*7+2*1+4*0 -9}{\wurzel{(-4)^2+2^2+4^2}}=
[/mm]
[mm] h=\bruch{-35}{\wurzel{36}}= [/mm] ca.-5,83
Der abstand wäre dann rund -5,83 Längeneinheiten.
Zu b)die habe ich noch nicht gelöst, weil ich wissen wollte,ob ich mit den gegebenen Punkten gleich eine Koordinatenform schreiben kann, oder muss ich so vorgehen:
erst Parameterform erstellen, dann Normalenvektor finden, gerade aufstellen mit Normalenvektor der orthogonal zu A ist, dann die länge berechnen. Danke für jeden hinweis,toll wenn jemand das Ergebnis von a) überprüfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 Sa 10.11.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Bestimme den Abstand des Punktes A von der Ebene
> a) A(7;1,0) E: [mm]-4x_{1}+2x_{2}+4x_{3}-9=0[/mm]
> b) A(2;2;9) Ebene durch B(3;-2;1) C(1;-4;1) D(0;2;5)
> Hallo,
> also a) habe ich so gelöst: E umgeschrieben sieht so aus
> [mm]h=\bruch{-4*7+2*1+4*0 -9}{\wurzel{(-4)^2+2^2+4^2}}=[/mm]
>
> [mm]h=\bruch{-35}{\wurzel{36}}=[/mm] ca.-5,83
> Der abstand wäre dann rund -5,83 Längeneinheiten.
Der Abstand ist natürlich positiv, aber ansonsten korrekt.
Das Vorzeichen gibt Auskunft, auf welcher Seite der Ebene der Punkt liegt:
Hier liegt er auf der selben Seite wie der Ursprung.
> Zu b)die habe ich noch nicht gelöst, weil ich wissen
> wollte,ob ich mit den gegebenen Punkten gleich eine
> Koordinatenform schreiben kann,
theoretisch geht das schon, ist aber nicht weniger aufwändig als über die Parameterform.
> erst Parameterform erstellen, dann Normalenvektor finden,
> Ebene aufstellen mit Normalenvektor der orthogonal zu A
> ist, dann die länge berechnen.
genau so solltest du das machen.
Gruß
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 So 11.11.2007 | | Autor: | Beliar |
Also ich habe mal beides versucht, weiss aber nicht was ich bei der Koordinatenform falsch mache. Zu erstmal über die Parameterform:
P(2;2;9) A(3;-2;1) B(1;-4;1) C(0;2;5) meine vorläufige P-form sieht dann etwas umständlich so aus:
[mm] E:\vec{x}=(3;-2;1)+r((1;-4;1)-(3;-2;1))+s((0;2;5)-(3;-2;1))
[/mm]
oder einfach:
[mm] E:\vec{x}=(3;-2;1)+r(-2;-2;0)+s(-3;4;4)jetzt [/mm] den Normalenvektor,um keine alzu krummen werte zu bekommen sieht er so aus: [mm] \vec{n}=(4;-4;7) [/mm] damit gehts zur Geraden:
[mm] g:\vec{x}=(2;2;9)+t(4;-4;7) [/mm] damit bestimme ich dann den Schnittpunkt: g=E
((2;2;9)+t(4;-4;7)-(3;-2;1))*(4;-4;7)=0 bekomme für t=(-4/9) jetzt zum Fußpunkt durch einsetzen von t in g und erhalte Fp(2/9;34/9;(-10/9)) jetzt die Länge des Vektors: ((2/9)-2);((34/9)-2);((-10/9)-9) dann gehts weiter,mit diesen Ergebnissen:
[mm] \wurzel{(-16/9)^2+(16/9)^2+(-91/9)^2}=\wurzel{108,55}\approx [/mm] 10,42 Längeneinheiten.
Habe es dann mit der Koordinatenform versucht, bekomme aber immer Ergebnisse weit ab von dem errechnetem Wert.
Meine bitte wäre nun einmal ein Weg überprüfen, und wen möglich mir an diesem Beispiel zu zeigen wie man das mit der Koordinatenform macht.
Danke für eure Hilfe
gruß
Beliar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 So 11.11.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Also ich habe mal beides versucht, weiss aber nicht was ich
> bei der Koordinatenform falsch mache. Zu erstmal über die
> Parameterform:
> P(2;2;9) A(3;-2;1) B(1;-4;1) C(0;2;5) meine vorläufige
> P-form sieht dann etwas umständlich so aus:
>
> [mm]E:\vec{x}=(3;-2;1)+r((1;-4;1)-(3;-2;1))+s((0;2;5)-(3;-2;1))[/mm]
> oder einfach:
> [mm]E:\vec{x}=(3;-2;1)+r(-2;-2;0)+s(-3;4;4)jetzt[/mm] den
> Normalenvektor,um keine alzu krummen werte zu bekommen
> sieht er so aus: [mm]\vec{n}=(4;-4;7)[/mm] damit gehts zur Geraden:
> [mm]g:\vec{x}=(2;2;9)+t(4;-4;7)[/mm] damit bestimme ich dann den
> Schnittpunkt: g=E
> ((2;2;9)+t(4;-4;7)-(3;-2;1))*(4;-4;7)=0 bekomme für
> t=(-4/9)
bis hier OK.
> jetzt zum Fußpunkt durch einsetzen von t in g und
> erhalte Fp(2/9;34/9;(-10/9))
da habe ich Fp(2/9;34/9;(53/9))
und als Abstand von P: 4 LE.
Gruß
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 So 11.11.2007 | | Autor: | Beliar |
Ist vielleich eine komische Frage, aber wenn ich doch den Abstand berechne sollte doch das Ergebnis gleich sein,auch wenn das auf verschiedene Art und Weise gemacht wird,oder?
Und das irritiert mich jetzt ein weing.Woran liegt dieser Unterschied?
Ooh habe gerade mal nach gerechnet und komme auch auf 4. Vorzeichenfehler.
Aber wer mag mir diesen Weg mit der Koordinatenform erklären
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 So 11.11.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Aber wer mag mir diesen Weg mit der Koordinatenform
> erklären
Ansatz: ax + by + cz = d
Alle 3 Punkte nacheinander für x,y,z einsetzen. Jede Lösung des resultierenden unterbestimmten Systems - außer der trivialen Null-Lösung natürlich - liefert eine Normalenform der Ebene. Aber vergiß das besser, denn die erste Möglichkeit über die Parameterform ist für die Praxis vorzuziehen.
LG
Will
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