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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Sa 21.07.2007 | | Autor: | bambam |
| Aufgabe 1 | | Welche Punkte auf der Geraden durch die Punkte A(6/-8/3) und B(-6/8/7) haben vom Punkt C(1/-2/3) den Abstand 3 |
| Aufgabe 2 | Gegeben sind zwei windschiefe Geraden g und h. Eine horizontale Transversale der Länge 5 ist einzuschieben. In welcher Höhe kommt sie zu liegen?
g: r = (2/ -1 / 0) + t(1/-1/2), h: r = (1/ 0/ -2) + t(-2/3/2)
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Hallo zusammen,
ich habe da Probleme mit zwei Aufgaben, ich werde diese mal beide in den selben Post packen ich hoffe das ist ok so.
zu 1. was ich mir überlegt habe: Es wird ja ein Dreieck zwischen A, B und C gebildet und da der Abstand zwischen AC und AB gleich ist muss das Dreieck gleichschenklig sein. Also müsste es irgendwie mit einem zu AB orthogonalen Vektor v durch C funktionieren. Da muss ja glaube ich das Skalarprodukt von AB und dem angesprochenen Vektor v = 0 sein aber davon gibts in 3D ja recht viele, kann mir bitte jemand erklären wie ich das Ding durch den Punkt C kriege. Anschliessend dachte ich mir könnte ich mit Pythagoras die letzte Seite ausrechnen (es entsteht ja ein weiteres Dreieck (Schnittpunkt v AB, C und gesuchter Punkt P1) welches rechwinklig ist, eine Seite ist 3 die andere die länge von v, würde das so funktionieren oder gibt es einen besseren Weg.
Ich hoffe meine Überlegungen sind verständlich, Mathe ist noch ein bisschen ungewohnt für mich.
zu 2. meine einzige Idee: die z Werte der zwei Punkte müssen gleich sein
Vielen Dank für Eure Hilfe
Michael
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 Sa 21.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hall bambam,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Mein Lösungsvorschlag: Bilde sowohl die Geradengleichung [mm] $g_{AB} [/mm] \ = \ [mm] \overline{AB}$ [/mm] als auch die Kugelgleichung $K_$ um den Punkt $C_$ mit dem Radius $r \ = \ 3$ und bilde die Schnittmenge (durch Gleich- bzw. Einsetzen) der beiden Gleichungen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:34 Sa 21.07.2007 | | Autor: | bambam |
Hallo Loddar
danke für die schnelle Antwort. Klingt um einiges einfacher als mein Lösungansatz ;O) Ich arbeite mich da gerade durch so n Buch durch und bis jetzt stand da noch nix von ner Kreisgleichung, werd mal weiter hinten nachschlagen, danke nochmals.
Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Sa 21.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo bambam!
Deine beiden Geraden lauten (mit unterschiedlichen Parameternamen):
$g [mm] \: [/mm] \ [mm] \vec{x} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{2\\-1\\0}+ s*\vektor{1\\-1\\2}$
[/mm]
$h \ : \ [mm] \vec{x} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{1\\ 0\\ -2} [/mm] + [mm] t*\vektor{-2\\3\\2}$
[/mm]
Damit dieselbe z-Koordinaten vorliegt, muss gelten:
$0+s*2 \ = \ -2+t*2$ [mm] $\gdw$ [/mm] $s \ = \ t-1$
Und nun suchen wir die beiden Punkte $P \ [mm] \in [/mm] \ g$ und $Q \ [mm] \in [/mm] \ h$ , deren Abstand $d(P;Q) \ = \ 5$ beträgt.
Dafür verwenden wir die Abstandsformel:
$d(P;Q) \ = \ [mm] \wurzel{\left(x_Q-x_P\right)^2+\left(y_Q-y_P\right)^2+\left(z_Q-z_P\right)^2} [/mm] \ = \ 5$
Wir wissen ja, dass gilt [mm] $z_P [/mm] \ = \ [mm] z_Q$ [/mm] , damit verbleibt hier:
[mm] $\left(x_Q-x_P\right)^2+\left(y_Q-y_P\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] 5^2 [/mm] \ = \ 25$
Hier nun die jeweiligen Koordinatengleichungen aus den Geradengleichungen sowie die o.g. Beziehung $s \ = \ t-1$ einsetzen und nach $t \ = \ ...$ auflösen.
Am Ende erhalte ich dann die beiden Lösungen [mm] $t_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] \pm [/mm] \ 1$ (ohne Gewähr  ).
Gruß
Loddar
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