Abstand Ebene Punkt etc < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:42 Sa 24.06.2006 | | Autor: | relief |
| Aufgabe | Egene E1 durch P (-4/6/4) und g: X=(-5/2/5)+t*(2/2/1) Bestimme Ebene E2 zu g normal duch P.
Abstand P von g?
R1, R2 seien auf g mit dem Abstand 6 vom Schnittpunkt von g mit der Ebene E2.
Bestimme die Fläche des Dreiecks (R1 R2 P) |
ich wollte die ebene berechnen, weiß aber nicht ob der Normalvektor (2/2/1) der richtige ist, habe ich glaub ich falsch gemacht. und ich kenn mich nicht aus, wie ich E2 zu g normal durch P rechnen soll, also bei diesem beispiel fehlt mir total der ansatz, weil ich nicht mal drauf komme, wie ich die Ebene1 aurechne! vielleicht will mir jemand helfen?! Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:16 Sa 24.06.2006 | | Autor: | simon_g |
Wie Du schon richtig gesagt hast, entspricht der Richtungsvektor der Geraden dem Normalenvektor der Ebene. Mit [mm] E: \vec{n}\cdot (\vec{x}-\vec{a})=0 [/mm], wobei [mm] \vec{a} [/mm] der Ortsvektor der Punktes P ist, erhälst Du die Ebene in Normalenform zu [mm] 2x_1 +2x_2+x_3=8 [/mm]. Nun berechnest Du den Schnittpunkt von Gerade und Ebene und erhälst so:
[mm] 2\, (2t-5)+2\, (2t+2) + (t+5) = 8 [/mm]
[mm] \longrightarrow 9t=9 [/mm]
[mm] \longrightarrow t=9 [/mm]
und somit den Schnittpunkt zu [mm] S = ( -3/ 4 / 6 ) [/mm].
Schnittpunkt und Punkt P liegen beider in der Ebene, welche senkrecht zu der Geraden steht, somit ist die Norm des Vektors [mm] \| \overrightarrow{SP} \| = \| \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\| = \sqrt{9}=3 [/mm] gleich dem gesuchten Abstand d.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:06 Sa 24.06.2006 | | Autor: | relief |
| Aufgabe | Wie Du schon richtig gesagt hast, entspricht der Richtungsvektor der Geraden dem Normalenvektor der Ebene. Mit $ E: [mm] \vec{n}\cdot (\vec{x}-\vec{a})=0 [/mm] $, wobei $ [mm] \vec{a} [/mm] $ der Ortsvektor der Punktes P ist, erhälst Du die Ebene in Normalenform zu $ [mm] 2x_1 +2x_2+x_3=8 [/mm] $. Nun berechnest Du den Schnittpunkt von Gerade und Ebene und erhälst so:
$ [mm] 2\, (2t-5)+2\, [/mm] (2t+2) + (t+5) = 8 $
$ [mm] \longrightarrow [/mm] 9t=9 $
$ [mm] \longrightarrow [/mm] t=9 $
und somit den Schnittpunkt zu $ S = ( -3/ 4 / 6 ) $.
Schnittpunkt und Punkt P liegen beider in der Ebene, welche senkrecht zu der Geraden steht, somit ist die Norm des Vektors $ [mm] \| \overrightarrow{SP} \| [/mm] = [mm] \| \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\| [/mm] = [mm] \sqrt{9}=3 [/mm] $ gleich dem gesuchten Abstand d. |
dazu hab ich eine frage, denn ich hab für die E das gleiche rausbekommen, weil ich es auch so gemacht habe, aber lt Lösungsheft steht für E1: 2x-y-2z=-22 aber für E2: 2x+2y+z=8
(mein fehler war vorher dass ich dachte, ich rechne E1, dabei steht ja E2 normal und somit 2x+2y+z=8, das hatte ich eh richtig)
aber wie komme ich zu E2?? das habe ich schon probeirt und habe herausbekommen:
2x+3y-10z=-54
ich habe einfach den vektor PA (wobei A der Stützvektor von g ist) hergenommen und dann die ebene in parameterfreier form umgerechnet, was offensichtlich ein ganz besonderer blödsinn war...
(das lustige an der sache ist, ich mag mathe sooooo gern, obwohl ich vieles nciht versteh  )
DANKE nochmal
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(Frage) überfällig | | Datum: | 14:45 Sa 24.06.2006 | | Autor: | relief |
| Aufgabe | R1, R2 seien auf g mit dem Abstand 6 vom Schnittpunkt von g mit der Ebene E2.
Bestimme die Fläche des Dreiecks (R1 R2 P) |
die punkte R1 R2 liegen ja im abstand 6 jeweils plus bzw minus vom S entfernt auf der g
also Abstand eines punktes auf der geraden zu dem jeweils anderen punkt, nun hab ich das 3 mal gerechnet mit jeweils 3 verschiedenen normalvektoren, aber keines stimmt!
hm.... da komm ich nicht weiter!
vielleicht habt ihr einen tipp...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:24 So 25.06.2006 | | Autor: | jerry |
guten morgen zusammen,
ich hab hier noch nichts speziell durchgerechnet, aber mir ist ein kleiner flüchtigkeitsfehler bei simons antwort aufgefallen:
das umformen nach t:
9t=9 [mm] \Rightarrow [/mm] t=1
vielleicht liegt kommt da der fehler her?!
vielleicht hab ich nachher zeit, das ganze mal durchzurechnen.
gruß benjamin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:18 Mo 17.07.2006 | | Autor: | simon_g |
Hi,
hatte mich lediglich vertippt, aber schon mit $ t=1$ weitergerechnet.......
Gruß
Simon
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