Abstand Punkt-Gerade < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:36 Sa 20.10.2007 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Abstand zwischen Punkt und Gerade mit Hilfe der Vektorprojektion
G1: [mm] \vec{x}=\vec{a}+\lambda*\vec{u}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+\lambda*\vektor{-3 \\ 2 \\ 4}
[/mm]
Punkt [mm] A=\vektor{-2 \\ 3 \\ -5} [/mm] |
Nun ich habe es nach einem Schema gemacht, welches uns angegeben wurde, komme aber nicht zum richtigen Ergebnis:
Die Punkte C und B liegen beide auf der Geraden. Der Punkt B ist der Fußpunkt, der orthogonal zu Punkt A liegt, daher den kürzesten Abstand hat. Man kann daher einen Umlauf bilden, wo gilt: [mm] \overrightarrow{BA}-\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{BC}=0
[/mm]
Für den Abstand gilt dann: [mm] d=\vmat{ \overrightarrow{CA}+\vec{P}\vec{u} (\overrightarrow{CA}) } [/mm] mit [mm] \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}=\vektor{-2 \\ 3 \\ -5}-\vektor{1 \\ 2 \\ 3}=\vektor{-3 \\ 1 \\ -8}
[/mm]
[mm] \vec{P}\vec{u}(\overrightarrow{CA})
[/mm]
[mm] =P\vec{u}(\overrightarrow{CA})*\vec{eu}
[/mm]
[mm] =(\overrightarrow{CA}*\vec{eu})*\vec{eu}
[/mm]
[mm] =(\overrightarrow{CA}*\bruch{\vec{u}}{\vmat{ \vec{u}}})*\bruch{\vec{u}}{\vmat{ \vec{u}}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{(\vec{u})²}*(\overrightarrow{CA}*\vec{u})*\vec{u}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{29}*(9+2-32)*\vektor{-3 \\ 2 \\ 4}
[/mm]
[mm] d=\vmat{\vektor{-3 \\ 1 \\ -8}-\bruch{21}{29}*\vektor{-3 \\ 2 \\ 4}} [/mm]
=10.94
Aber eigentlich müsste doch 7,67 herauskommen. Wo ist der Fehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 Sa 20.10.2007 | | Autor: | koepper |
> Berechnen Sie den Abstand zwischen Punkt und Gerade mit
> Hilfe der Vektorprojektion
> G1: [mm]\vec{x}=\vec{a}+\lambda*\vec{u}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+\lambda*\vektor{-3 \\ 2 \\ 4}[/mm]
>
> Punkt [mm]A=\vektor{-2 \\ 3 \\ -5}[/mm]
> Nun ich habe es nach einem Schema gemacht, welches uns
> angegeben wurde, komme aber nicht zum richtigen Ergebnis:
> Die Punkte C und B liegen beide auf der Geraden. Der Punkt
> B ist der Fußpunkt, der orthogonal zu Punkt A liegt, daher
> den kürzesten Abstand hat. Man kann daher einen Umlauf
> bilden, wo gilt:
> [mm]\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{BC}=0[/mm]
> Für den Abstand gilt dann: [mm]d=\vmat{ \overrightarrow{CA}+\vec{P}\vec{u} (\overrightarrow{CA}) }[/mm]
> mit
> [mm]\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}=\vektor{-2 \\ 3 \\ -5}-\vektor{1 \\ 2 \\ 3}=\vektor{-3 \\ 1 \\ -8}[/mm]
warum so kompliziert?
Für den Vektor AB muß gelten: $AB * [mm] \vec{u} [/mm] = 0.$
Setze nun für B einfach den "allgemeinen Punkt" der Geraden ein. Dann bekommst du aus der obigen Gleichung den Geradenparameter, der auf den Fusspunkt verweist.
Gruß
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Sa 20.10.2007 | | Autor: | Owen |
was versteht man unter dem "allgemeinen Punkt"?
Naja, der Weg ist kompliziert, das stimmt, aber ich möchte ihn verstehen. Ich würde gerne wissen, was daran falsch ist, weil es sein könnte, dass man von mir genau diesen Weg verlangen wird.
Aber der Weg, den du angegeben hast, interessiert mch auch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Sa 20.10.2007 | | Autor: | koepper |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
der "allgemeine Punkt" ist hier
$B_{\lambda}(1-3 \lambda \mid 2+2 \lambda \mid 3+4 \lambda)$
Den kannst du einfach aus der Geradengleichung koordinatenweise ablesen.
Für jedes $ \lambda \in \IR $ ist $B_\lambda$ dann ein Punkt der Geraden.
Nun bilde die Schar aller Vektoren von Punkt A zu Punkten der Geraden.
Dazu subtrahierst du einfach:
$\vec{0B_\lambda} - \vec{0A} = \vektor{ 3-3\lambda \\ -1+2\lambda \\ 8+4\lambda)$
Nun müssen wir $\lambda$ so bestimmen, daß dieser Vektor von A zur Geraden orthogonal zur Geraden wird,
denn nur dann ist er der kürzeste von allen und zeigt auf den Lotfusspunkt, also
$\vektor{ 3-3\lambda \\ -1+2\lambda \\ 8+4\lambda} * \vektor{ -3 \\ 2 \\ 4} = 0$
$\Leftrightarrow -3 * (3-3\lambda) +2 * (-1+2\lambda) + 4 * (8+4\lambda) = 0$
$\Leftrightarrow 21 + 29 \lambda = 0 $
$\Leftrightarrow \lambda = -\frac{21}{29} $
Dieses $\lambda$ setzt du nun in die ursprüngliche Geradengleichung ein und bekommst den Lotfusspunkt.
Der Abstand vom LFP zu A ist dann die gesuchte Distanz.
Gruß
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Sa 20.10.2007 | | Autor: | Owen |
gut, das habe ich soweit verstanden. Nun würde ich noch gerne den Fehler aus meiner Rechnung mit der Vektorprojektion wissen. Da würde mich sehr freuen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Sa 20.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
Für den Abstand gilt dann: $ [mm] d=\vmat{ \overrightarrow{CA}+\vec{P}\vec{u} (\overrightarrow{CA}) } [/mm] $ mit $ [mm] \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}=\vektor{-2 \\ 3 \\ -5}-\vektor{1 \\ 2 \\ 3}=\vektor{-3 \\ 1 \\ -8} [/mm] $
$ [mm] \vec{P}\vec{u}(\overrightarrow{CA}) [/mm] $
$ [mm] =P\vec{u}(\overrightarrow{CA})\cdot{}\vec{eu} [/mm] $
$ [mm] =(\overrightarrow{CA}\cdot{}\vec{eu})\cdot{}\vec{eu} [/mm] $
$ [mm] =(\overrightarrow{CA}\cdot{}\bruch{\vec{u}}{\vmat{ \vec{u}}})\cdot{}\bruch{\vec{u}}{\vmat{ \vec{u}}} [/mm] $
$ [mm] =\bruch{1}{(\vec{u})²}\cdot{}(\overrightarrow{CA}\cdot{}\vec{u})\cdot{}\vec{u} [/mm] $
$ [mm] =\bruch{1}{29}\cdot{}(9+2-32)\cdot{}\vektor{-3 \\ 2 \\ 4} [/mm] $
$ [mm] d=\vmat{\vektor{-3 \\ 1 \\ -8}-\bruch{21}{29}\cdot{}\vektor{-3 \\ 2 \\ 4}} [/mm] $
=10.94
Aber eigentlich müsste doch 7,67 herauskommen. Wo ist der Fehler?
Es muß
$ [mm] d=\vmat{\vektor{-3 \\ 1 \\ -8} + \bruch{21}{29}\cdot{}\vektor{-3 \\ 2 \\ 4}} [/mm] $
heißen.
Gruß
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 Sa 20.10.2007 | | Autor: | Owen |
Oh man, dass war aber ein unnötiger Fehler. Jedenfalls weiß ich jetzt Bescheid. Vielen Dank
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