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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 So 12.06.2011 | | Autor: | nem86 |
Ich versuche den kürzesten Absatnd eines Punktes zu einer Geraden im R2 zu ermitteln. Und zwar in allgemeiner Form, ohne Zahlen.
quasi gegeben:
- der Ortsvektor des Punktes: [mm] \vec{p}
[/mm]
- und die Gerade mit Stützvektor [mm] \vec{a} [/mm] und Richtungsvektor [mm] \vec{b}
[/mm]
[mm] \vec{n} [/mm] der Normalenvektor der Geraden
(Wie stelle ich den mithilfe der beiden Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] dar?)
Ist es tatsächlich so einfach:
[mm] (\vec{p}-\vec{a}) [/mm] * [mm] (\vec{n} [/mm] / [mm] |\vec{n}|)
[/mm]
Ich hab keine bildliche Vorstellung vom Skalarprodukt, deswegen bin ich unsicher ob das so gehen kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 So 12.06.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Du hast die Gerade:
[mm] $g:\vec{x}=\vektor{a_{1}\\a_{2}}+\lambda\cdot\vektor{b_{1}\\b_{2}}$
[/mm]
Also hat ein Punkt R auf der Geraden einen Ortsvektor der Form:
[mm] $\vec{r_{t}}=\vektor{a_{1}+\lambda\cdot b_{1}\\a_{2}+\lambda\cdot b_{2}}$
[/mm]
Bestimme nun den Vektor [mm] \overrightarrow{PR_{t}}, [/mm] der senkrecht auf der Geraden steht, also das t, so dass:
[mm] $\overrightarrow{PR_{t}}\perp\vec{b}\Leftrightarrow\overrightarrow{PR_{t}}\stackrel{Skalar}{\cdot}\vec{b}=0$
[/mm]
Mit diesem t bestimmst du dann den sogenannten Fusspunkt F auf der Geraden, die Länge des Vektors [mm] $\overrightarrow{PF}$ [/mm] ist dann der gesuchte Abstand.
Dieses Verfahren funktioniert genauso auch im [mm] \IR^{3}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 So 12.06.2011 | | Autor: | nem86 |
Danke erst einmal!
Das prinzipielle Verfahren leuchtet mir ein, dazu habe ich shcon eine Menge gefunden.
Die Frage ist, ob es so einfach mit dem Normalenvektor darstellbar ist bzw. ob die von mir angegebene Formel stimmt? Das wäre ja dann eine sehr einfache Lösung und im Prinzip genau das was ich suche.
Kannst du mir diesbezüglich weiterhelfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 So 12.06.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Danke erst einmal!
> Das prinzipielle Verfahren leuchtet mir ein, dazu habe ich
> shcon eine Menge gefunden.
> Die Frage ist, ob es so einfach mit dem Normalenvektor
> darstellbar ist bzw. ob die von mir angegebene Formel
> stimmt? Das wäre ja dann eine sehr einfache Lösung und im
> Prinzip genau das was ich suche.
Was ist n in deinem Fall? Ein Normalenvektor, soviel ist klar. Aber wozu?
Deine Formel $ [mm] (\vec{p}-\vec{a})*(\vec{n}/|\vec{n}|) [/mm] $ hat einige "Haken":
Erstens dividierst du im zweiten einen Vektor durch eine Zahl, was so nicht definiert ist.
Zweitens ist das Skalarprodukt zweiter Vektoren keine Länge, es gilt, wenn überhaupt:
[mm] |\vec{x}|=\sqrt{\vec{x}\cdot\vec{x}}
[/mm]
Drittens liefert deine Formel den Wert 0, wenn der Verbindungvekor [mm] \overrightarrow{AP} [/mm] senkrecht zur Geraden ist.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 So 12.06.2011 | | Autor: | nem86 |
n ist der Normalenvektor zum Richtungsvektor der Geraden und durch seinen eigenen Betrag geteilt um auf Einheitslänge zu kommen
Sollte die strecke AP senkrecht zur Geraden stehen ist das Skalarprodukt zum Richtungsvektor der Geraden = 0 aber nicht zum Normalenvektor, dazu wäre die Strecke ja dann parallel.
Ich hab einige Fälle durchexerziert und das haute hin, kann aber halt auch Zufall sein. Wie gesagt leider fehlt mir das anschauliche Verständnis zum Skalarprodukt um die Gleichung zu verifizieren, deswegen dachte ich, frage ich mal die Mathe-Cracks :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:37 So 12.06.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> n ist der Normalenvektor zum Richtungsvektor der Geraden
> und durch seinen eigenen Betrag geteilt um auf
> Einheitslänge zu kommen
>
Schreibe besser:
[mm] \frac{1}{|\vec{n}|}\cdot\vec{n}, [/mm] die Division eines Vektors mit einem Skalar ist nicht definiert.
> Sollte die strecke AP senkrecht zur Geraden stehen ist das
> Skalarprodukt zum Richtungsvektor der Geraden = 0 aber
> nicht zum Normalenvektor, dazu wäre die Strecke ja dann
> parallel.
In der Tat.
>
> Ich hab einige Fälle durchexerziert und das haute hin,
> kann aber halt auch Zufall sein. Wie gesagt leider fehlt
> mir das anschauliche Verständnis zum Skalarprodukt um die
> Gleichung zu verifizieren, deswegen dachte ich, frage ich
> mal die Mathe-Cracks :)
EDIT: Dazu hat Leduart ja in seiner Antwort etwas zu gesagt.
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 So 12.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Formel ist richtig! Zur Vorstellung:
[mm] \vec{a}-\vec{p} [/mm] istein beliebiger Vektor von P zur Geraden. seine senkrechte Komponente, den Abstand bekommst du durch die Projektion des Vektors [mm] \vec{a}-\vec{p} [/mm] auf die normalenrichtung.
Das Skalarprodukt mit dem normaleneinheitsvektor gibt grade das!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:05 So 12.06.2011 | | Autor: | nem86 |
Projektion! Alles klar, jetzt machts etwas klick, ich danke euch vielmals!
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