Abstand Punkt von Ebene < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:02 Mi 11.04.2007 | | Autor: | horschti |
| Aufgabe | Welchen Abstand hat der Punkt A(2/-4/-1) von der Ebene
E: [mm] \vec{X} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 2} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{-2 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] \mu \vektor{2 \\ 1 \\ 0} [/mm] |
Über das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren kommt man auf den Normalenvektor: [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ -4}
[/mm]
Um den Abstand d zu erhalten, habe ich [mm] \vec{n} [/mm] in die HNF gebracht und als Abstand [mm] \approx [/mm] 1,07 erhalten. Daraus folgt dass A auf der anderen Seite der Ebene als der Ursprung liegt, da d > 0.
Nach der Lösung kommt aber für d [mm] \approx [/mm] -1,1 raus.
Wo liegt mein Fehler?
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
es kann doch kein neagativer Abstand rauskommen...
Wenn du in die Hesseform der Ebene einsetzt, setzt du ja Beträge drum.
Dein Normalenvektor ist auch richtig.
Für den Abstand d gilt also folgendes:
[mm] d=\left|\vektor{2-1\\-4+1 \\1-2}*\vektor{-1\\2 \\-4} \right|*\bruch{1}{\wurzel{21}}
[/mm]
[mm] \gdw d=|-1-6+4|*\bruch{1}{\wurzel{21}}=\bruch{3}{\wurzel{21}} [/mm] ...hier hast du dich also irgendwo verrechnet. Gb den Abstand auch am besten exakt ohne, ohne Rundung.
Liebe Grüße
Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:46 Mi 11.04.2007 | | Autor: | horschti |
Also Rechenfehler hab ich keinen drin. In der Lösung wurde der Normalenvektor über das Skalarprodukt mit jeweils einem Richtungsvektor der Ebene bestimmt. Daraufhin ist dann [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 4} [/mm] und d= -1,1 < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] Punkt ist auf gleicher Seite der Ebene wie Ursprung.
Bei meinem Rechenweg ist er aber auf der anderen Seite!?
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Hallo,
im Prinzip haben wir denselben Normalenvektor, ist ja nur (-1) ausgeklammert worden, meiner zeigt halt in genau die entgegengesetzte Richtung.
Aber zeig mal deinen Rechenweg, dann kann ich dir besser helfen.
Liebe Grüße
Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:51 Mi 11.04.2007 | | Autor: | horschti |
Ist der gleiche Rechenweg den du auch gemacht hast. Mein Problem ist halt, dass ich nicht eindeutig sagen kann auf welcher Seite der Ebene der Punkt A liegt, da je nach Normalenvektor auch d sein Vorzeichen ändert und dadurch die Lage von A nicht mehr genau bestimmt werden kann. Also es geht mir hauptsächlich darum ob A auf der gleichen Seite wie der Ursprung ist oder auf der anderen Seite der Ebene.
Danke schonmal für deine Mühe
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Hallo,
jetzt weiß ich was du meinst..
Berechne nun den Abstand der Ebene zum Ursprung, indem du halt (0/0/0) einsetztst. (Selben Normalenvektor benutzen wie bem Absatand A;Ebene!!!!)
So lass bei beiden die Beträge mal weg...
du erhälst das andere Vorzeichen für d(0;E) also e mir positiv und bei mir d(A;E) negativ (bei deinem NV wahrschenlich genau anders herum)
Da du hier unterschiedliche Vorzeichen erhälst, sind der Ursprung und A nicht auf der selben Seite von der Ebene!!
Liebe Grüße
Andreas
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