Abstand Ursprung - Ebene < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die Ebene [mm] E:\vektor{1 \\ -2 \\ 2}\*\vec{x}=3
[/mm]
Bestimme denjenigen Punkt Q aus E, der von Koordinatenursprung minimalen Abstand hat. |
Hallo,
ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter, habe gar keine Ahnung wie ich da rangehen soll.
Das ist nur ein Teil der Aufgabe. Die selbe Aufgabenstellung gibt es auch mit einer Geraden.
Die habe ich als Extremwertaufgabe gelöst
Wie geht das mit der Ebene? Würde es als Extremwertaufgabe mit einer Funktionsschar gehen wenn ich die Ebene als Parameterdarstellung umforme?
Ansonsten fehlt mir irgendwie die Idee zur Lösung der Aufgabe...
Danke für die Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Also ich glaube ich habe es auch so geschafft - mit der Hesseschen Normalenform.
E: [mm] \bruch{1}{3}x_{1}-\bruch{2}{3}x_{2}+\bruch{2}{3}x_{3}=1
[/mm]
Abst [mm] (P;E)=|\bruch{1}{3}x_{1}-\bruch{2}{3}x_{2}+\bruch{2}{3}x_{3}-1|
[/mm]
Danach weiß ich, dass der kleinste Abstand vom Ursprung zur Ebene 1 ist
Kann man jetzt sagen, dass der entsprechende Punkt in der Ebene
"Abstand * Normelneinheitsvektor" ist?
Für diese Aufgabe komme ich auf [mm] \vektor{\bruch{1}{3}\\ -\bruch{2}{3}\\\bruch{2}{3}}
[/mm]
Das ist auf jeden Fall das richtige Ergebnis. Mich würde jetzt noch interessieren ob man das immer so machen kann, auch wenn der Abstand [mm] \not=1 [/mm] ist?
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Hi, madeinindia,
Deine Lösung ist zwar OK, ist aber in einigen Fällen schwer umzusetzen. Was machst Du z.B. wenn nicht der Ursprung sondern irgendein beliebiger Punkt gegeben ist?
Hier mein Vorschlag, der immer geht:
Nimm' die Gerade, die durch den gegebenen Punkt (hier: O) geht und auf der Ebene SENKRECHT steht (Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor der Ebene!).
Dann ist der Schnittpunkt dieser Geraden mit der Ebene der gesuchte Punkt.
(Ergänzende Erklärung: Lotfußpunkt!).
mfG!
Zwerglein
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