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Abstand bei Extremwertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:12 Do 29.03.2007
Autor: SCFreiburg

Aufgabe
Von welchem Punkt des Graphen f(x)=x² hat der Punkt Q(0/1.5) den kleinsten Abstand?

Wie löst man sowas? Ich weiß, dass ich in irgendeiner Form den Pythagoras anwenden muss. Aber wie????

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Abstand bei Extremwertproblem: Abstandsformel + Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:22 Do 29.03.2007
Autor: Roadrunner

Hallo SCFreiburg,

[willkommenmr] !!


Die Abstandsformel zweier Punkte $A \ [mm] \left( \ x_A \ | \ y_A \ \right)$ [/mm] und $B \ [mm] \left( \ x_B \ | \ y_B \ \right)$ [/mm] lautet folgendermaßen (die sich auch aus dem Satz des Pythagoras ergibt):

[mm] $d_{AB} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{ \ \left(x_B-x_A\right)^2+ \left(y_B-y_A\right)^2 \ }$ [/mm]


Um aber nun die Extremwertberechnung mit der gegebenen Funktion zu vereinfachen, empfehle ich hier, folgende Ersatzfunktion zu verwenden:

$g(x) \ = \ [mm] \left[ \ d(x) \ \right]^2 [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ \wurzel{ \ \left(x-0\right)^2+ \left(x^2-1.5\right)^2 \ } \ \right]^2 [/mm] \ = \ [mm] \left(x-0\right)^2+ \left(x^2-1.5\right)^2 [/mm] \ = \ ...$


Dies darfst Du machen, weil die Wurzelfunktion streng monoton steigend ist; d.h. extremale Werte unter der Wurzel ergeben auch extremale Wurzelwerte.


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
Bezug
Abstand bei Extremwertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:38 Do 29.03.2007
Autor: SCFreiburg

Okay, vielen Dank, aber ich hab noch eine Verständnisfrage:
Wie kommt man in der zweiten Klammer auf x² statt auf x??

Bezug
                        
Bezug
Abstand bei Extremwertproblem: Funktion eingesetzt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:41 Do 29.03.2007
Autor: Roadrunner

Hallo SCFreiburg!


Da habe ich bereits den Funktionsterm $y \ = \ f(x) \ = \ [mm] \red{x^2}$ [/mm] eingesetzt.

Nun klar(er)?


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                        
Bezug
Abstand bei Extremwertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:43 Do 29.03.2007
Autor: SCFreiburg

Ähm, ich nochmal:
wenn ich das dann auflöse und mit Sustitution und anschließender PQ-Formel lösen will, kommt da keine Lösung raud, da das Ergebnis unter der Wurzel minus ergibt.

Bezug
                                
Bezug
Abstand bei Extremwertproblem: erst ableiten
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:46 Do 29.03.2007
Autor: Roadrunner

Hallo SCFreiburg!


Was hast Du denn genau berechnet? Das klingt mir irgendwie nach Nullstellenberechnung, was Du da machst.

Um die Extremwerte zu berechnen, musst Du doch zunächst die erste Ableitung ermitteln und davon die Nullstellen berechnen.


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                                        
Bezug
Abstand bei Extremwertproblem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:50 Do 29.03.2007
Autor: SCFreiburg

Oh, das ist ja peinlich! Du hast natürlich recht!
VIELEN DANK für deine ausdauernde Hilfe!!!

Bezug
                                                
Bezug
Abstand bei Extremwertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:58 Do 29.03.2007
Autor: SCFreiburg

Jetzt wird es mir WIRKLICH unangenehm, aber ich komme immer noch nicht weiter, denn jetzt kommt die Polynomdivision. Ich hab ne Frage: Könntest du mir die eine Aufgabe einmal komplett lösen, dann hab ich ne Anschauung für alle weiteren? Wenn das zu aufwendig ist, ist egal. Also: Kein Stress

Bezug
                                                        
Bezug
Abstand bei Extremwertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:05 Do 29.03.2007
Autor: M.Rex

Hallo

Das ganze ist nicht weiter schwer.

[mm] A(x)=x^{4}-2x²+\bruch{9}{4} [/mm]
Also:

A'(x)=4x³-4x

Jetzt: A'(x)=0

Also 4x³-4x=0
[mm] \gdw [/mm] 4x(x²-1)=0
[mm] \Rightarrow [/mm] x=0, oder [mm] x²-1=0\Rightarrow x=\pm1 [/mm]

Und jetzt noch

A''(x)=12x²-4
A''(0)<0, also HP
[mm] A''(1)\underbrace{=}_{Symmetrie}A''(-1)>0, [/mm] also TP

Marius

Bezug
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