Abstand eines Punktes/Geraden < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich muss den Abstand zwischen einer Geraden und einem Punkt ausrechnen.
Wie funktioniert das ?
Der Abstand ist ja die kürzeste Entfernung, also ein WInkel mit 90Grad zur Geraden.
Folglich muss es ja sowas wie ein "normalvektor" der geraden geben.
Und da liegt auch schon mein Problem: Es gibt ja unendlich viele Normalvektoren zu einer Geraden.
Ich muss auch den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene errechnen.
Da könnte ich mir vorstellen wie ich es mache, aber ich suche nach einer schon vorgegebenen Formel, in die ich alles einsetzen kann.
Gruß
Philipp
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Hallo Philipp!
Zunächst bestimmst du die Hilfsebene H, welche die Gerade g als Normalenvektor hat und durch P geht.
$g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] + r * [mm] \vec{b}$
[/mm]
$P: [mm] (x_P/y_P/z_P)$ [/mm] mit dem Ortsvektor [mm] $\vec{p}=\vektor{x_P \\ y_P \\ z_P}$
[/mm]
$H: [mm] (\vec{x} [/mm] - [mm] \vec{p}) [/mm] * [mm] \vec{b} [/mm] = 0$
Dann berechnest du den Lotfußpunkt F als Schnittpunkt aus g und H und schließlich kannst du den Abstand von F und P als Länge des Vektors [mm] \vec{PF} [/mm] ausrechnen.
Hilft dir das weiter?
Ciao minsicout ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
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nee, nicht wirklich.
Gibt es da nicht so ne Formel ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 Mo 18.09.2006 | | Autor: | Fulla |
hi philipp!
du könntest auch den abstand zwischen gerade ung punkt als funktion ausrechnen und dann das minimung bestimmen...
zum beispiel:
g: [mm]\vektor{1\\1\\0}+\lambda*\vektor{2\\4\\-1}[/mm] und [mm]P=\vektor{2\\2\\2}[/mm]
der abstand ist dann [mm] \vmat{\vektor{1\\1\\0}+\lambda*\vektor{2\\4\\-1}-\vektor{2\\2\\2}}=\vmat{\vektor{2\lambda-1\\4\lambda-1\\-\lambda-2}}=\wurzel{(2\lambda-1)^2+(4\lambda-1)^2+(-\lambda-2)^2}=...=\wurzel{21\lambda^2-8\lambda+6}
[/mm]
um das minimum dieser funktion zu berechnen kannst du die wurzel auch weglassen...
[mm] \Rightarrow [/mm] ableitung bilden: [mm] 42\lambda-8=0 \gdw \lambda=\bruch{4}{21}
[/mm]
dieses [mm] \lambda [/mm] setzt du in die gerade ein. der punkt, der rauskommt, ist der, der P am nähesten liegt...
hilft dir das?
lieben gruß,
Fulla
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Hey Fulla,
ja danke das hilft mir sehr, ich weiss aber das es noch eine andere Formel geben muss.
Kennst du die vielleicht auch?
Und ich brauche noch eine Formel wie ich den ABstand zwischen einem Punkt und einer Ebene berechnen kann.
Vielleicht kann mir ja noch jemand weiterhelfen.
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Hallo Philipp,
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> ja danke das hilft mir sehr, ich weiss aber das es noch
> eine andere Formel geben muss.
> Kennst du die vielleicht auch?
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]")  Abstandsberechnungen im R3
Da findest du alles wesentliche...
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> Und ich brauche noch eine Formel wie ich den ABstand
> zwischen einem Punkt und einer Ebene berechnen kann.
>
> Vielleicht kann mir ja noch jemand weiterhelfen.
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Gruß informix
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