Abstand eines Punktes zu einer < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:37 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Smuji |
hallo,
ich habe mal eine verständnisfrage, zum lösen einer aufgabe, in welcher es um den abstand von einem punkt zu einer geraden geht.
ich habe mir nun nochmal das kreuzprodukt angeschaut.
das kreuzprodukt aus 2 vektoren erzeugt einen vektor, wessen betrag die aufgespannte ebene darstellt.
heißt das, dass dieser vektor der da erzeugt wird, einen rechten winkel zu einem der beiden vektoren hat, also orthogonal auf einen steht und so viele längeneinheiten hat wie die aufgespannte ebene flächeneinheiten hat ?
ich weiß nämlich immernoch nicht weshalb der vektor a normiert werden muss bei dem berechnen des abstand eines punktes zu einer geraden... ich will es unbedingt verstehen...... warum kann vektor a nicht so bleiben wie er ist....
mal so meine theorie ausm kopf :
theoretisch könnte man doch den vektor des punktes Q - dem vektor des punktes durch den die gerade geht rechnen, somit hätte ich die länge der schräge des parallelogramms
danach könnte ich den vektor der schrägen auf den richtungsvektor (a) der geraden projezieren.
dann könnte ich den cosinus des winkels bestimmen indem ich ankathete durch hypthenuse rechne.... und mit hilfe des cosinus bekomme ich den winkel und dann mit sinus * hypothenuse bekomme ich den abstand(höhe des parallelogramms ) ?
gruß smuji
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> hallo,
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> ich habe mal eine verständnisfrage, zum lösen einer
> aufgabe, in welcher es um den abstand von einem punkt zu
> einer geraden geht.
Hallo,
im [mm] \IR^2 [/mm] oder im [mm] \IR^3?
[/mm]
>
>
> ich habe mir nun nochmal das kreuzprodukt angeschaut.
>
> das kreuzprodukt aus 2 vektoren erzeugt einen vektor,
> wessen betrag die aufgespannte ebene darstellt.
Der Länge des Vektors entspricht dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms.
(Eine Ebene ist was anderes: unendlich)
>
> heißt das, dass dieser vektor der da erzeugt wird, einen
> rechten winkel zu einem der beiden vektoren hat, also
> orthogonal auf einen steht
Er steht senkrecht auf beiden!
Also senkrecht auf der von den beiden Vektoren aufgespannten Ebene.
>und so viele längeneinheiten
> hat wie die aufgespannte ebene flächeneinheiten hat?
Ja, genau.
>
>
>
>
>
> ich weiß nämlich immernoch nicht weshalb der vektor a
> normiert werden muss bei dem berechnen des abstand eines
> punktes zu einer geraden... ich will es unbedingt
> verstehen...... warum kann vektor a nicht so bleiben wie er
> ist....
An dieser Stelle wäre es ganz sinnvoll, wenn Du sagen würdest, über welche Formel Du gerade redest, und was bei Dir a sein soll.
Achtung, ich rate jetzt mal ein bißchen und sehe ein bißchen hell.
Nimm Stift und Papier, und zeichne mit. Meine Bezeichnungen sind sicher anders als Deine.
Wir haben eine Gerade g, welche durch den Punkt A mit Ortsvektor [mm] \vec{a}=\overrightarrow{0A} [/mm] geht und in Richtung [mm] \vec{u} [/mm] verläuft.
Gleichung der Geraden in Parameterform
[mm] g:\qquad \quad \vec{x}=\vec{a}+t\vec{u}, \quad t\in \IR.
[/mm]
(Hast Du die Gerade gezeichnet? Den Punkt A auf der Geraden markiert? Klebe an A den Richtungsvektor [mm] \vec{u} [/mm] an.)
Weiter haben wir irgendwo einen Punkt P mit Ortsvektor [mm] \vec{p}=\overrightarrow{0P}, [/mm] dessen Abstand d von der Geraden wir errechnen wollen.
Zeichne nun noch den Vektor [mm] \overrightarrow{AP} [/mm] ein.
Aufgepaßt, jetzt geht es richtig los.
[mm] |\overrightarrow{AP}\times \vec{u}| [/mm] ist die Fläche F des von [mm] \overrightarrow{AP} [/mm] und [mm] \vec{u} [/mm] aufgespannten Parallelogrammes.
(Markiere das Parallelogramm)
Also [mm] F=|\overrightarrow{AP}\times \vec{u}|.
[/mm]
Fälle von P das Lot auf g. Das ist ja der gesuchte Abstand d des Punktes P von der Geraden g.
Das ist aber gerade die Höhe im Parallelogramm.
Wie berechnet man die Fläche eines Parallelogramms?
F=Grundseite mal Höhe,
hier:
[mm] F=|\vec{u}|*d.
[/mm]
Also ist [mm] d=\bruch{F}{|\vec{u}|},
[/mm]
und damit hat man [mm] d=\bruch{|\overrightarrow{AP}\times \vec{u}|}{|\vec{u}|}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{|\vec{u}|}*|\overrightarrow{AP}\times \vec{u}|=|\overrightarrow{AP}\times \bruch{\vec{u}}{|\vec{u}|}|.
[/mm]
Insgesamt steht hier nun der Betrag des Kreuzproduktes aus aus [mm] \overrightarrow{AP} [/mm] und dem Einheitsvektor in Richtung [mm] \vec{u}.
[/mm]
Oder so:
Du normierst [mm] \vec{u} [/mm] gleich und bekommst den Einheitsvektor [mm] \bruch{\vec{u}}{|\vec{u}|}.
[/mm]
Berechnest die Fläche des Parallelogrammes aufgespannt von [mm] \overrightarrow{AP} [/mm] und [mm] \bruch{\vec{u}}{|\vec{u}|}:
[/mm]
[mm] F=|\overrightarrow{AP}\times \bruch{\vec{u}}{|\vec{u}|}|.
[/mm]
Weißt: F= Grundseite mal Höhe.
Nun hast Du's so geschickt eingefädelt, daß die Grundseite die Länge 1 hat.
Also F=Höhe ==>
[mm] Höhe=|\overrightarrow{AP}\times \bruch{\vec{u}}{|\vec{u}|}|, [/mm] und daß die Höhe der gesuchte Abstand ist, hatten wir ja besprochen.
Falls die von mir geschilderte Situation jetzt gar nicht dem Sachverhalt und der Formel, über die Du gerade nachdenkst, entspricht, müßtest Du uns nochmal genau erklären, was Du mit welcher Formel berechnen möchtest.
LG Angela
> mal so meine theorie ausm kopf :
>
> theoretisch könnte man doch den vektor des punktes Q - dem
> vektor des punktes durch den die gerade geht rechnen, somit
> hätte ich die länge der schräge des parallelogramms
>
> danach könnte ich den vektor der schrägen auf den
> richtungsvektor (a) der geraden projezieren.
>
> dann könnte ich den cosinus des winkels bestimmen indem
> ich ankathete durch hypthenuse rechne.... und mit hilfe des
> cosinus bekomme ich den winkel und dann mit sinus *
> hypothenuse bekomme ich den abstand(höhe des
> parallelogramms ) ?
>
>
> gruß smuji
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Smuji |
ok, also meine frage bezieht sich auf das angehängte foto von mir und meine theorie kann man daran erklären
im buch ist ein ähnliches bild und da wird gesagt,
ich habe die gerade die durch den punkt P1 in richtung des vektors a1 geht... zudem habe ich den punkt Q und den ortsvektor dazu.
BENÖTIGT wird nun ein 2. punkt ( P2), den wir selbst erstellen sollen, der sich auf der geraden befindet, aber den abstand(P1P2) des normierten vektors a hat.... WHY ???
und weshalb ist der abstand von P1P2 auf dem bild größer als der vektor a lang ist, obwohl P1P2 normierte länge von a haben soll ??! und für was benötige ich überhaupt diesen p2 ?
und nochmal zu meiner theorie...
rechne ich rQ minus rP1, dann erhalte ich P1Q
kann ich nun jetzt nicht P1Q auf vektor a projezieren und danach den daraus erhaltenen projektierten vektor geteilt durch P1Q rechnen.
dann erhalte ich ja den cosinus des winkels zwischen beiden
und mit dem cosinus bekomme ich den winkel heraus und dann einfach
P1Q mal sinus des winkels = höhe h ?
eine frage am rande, welche ich eigentlich VOR meiner theorie stellen müsste.
wenn man einen vektor auf den andere projezieren wollen würde..... darf der daraus entstandene vektor länger sein als der ursprünglichee ?
sprich ich möchte einen vektor mmit 50m länge auf einen projezieren, der nur 2mm lang ist.... der vektor der daraus entsteht, ist i.d.R. ja viel länger als der 2mm-vektor..... ist sowas möglich/erlaubt ?
wenn ja, dann müsste meine theorie docheigentlich machbar sein , odeR ?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Smuji,
> ich habe die gerade die durch den punkt P1 in richtung des
> vektors a1 geht... zudem habe ich den punkt Q und den
> ortsvektor dazu.
>
> BENÖTIGT wird nun ein 2. punkt ( P2), den wir selbst
> erstellen sollen, der sich auf der geraden befindet, aber
> den abstand(P1P2) des normierten vektors a hat.... WHY
> ???
Ich denke, dass [mm] P_2 [/mm] ein gegebener Punkt war, der zusammen
mit [mm] P_1 [/mm] überhaupt erst die Gerade g festlegen sollte ...
Und ich verstehe nicht ganz, was hier mit "normiert" gemeint
sein soll. soll etwa [mm] |\vec{a}|=1 [/mm] sein ?
> und weshalb ist der abstand von P1P2 auf dem bild größer
> als der vektor a lang ist, obwohl P1P2 normierte länge von
> a haben soll ??!
> und für was benötige ich überhaupt diesen p2 ?
> und nochmal zu meiner theorie...
>
> rechne ich rQ minus rP1, dann erhalte ich P1Q
>
> kann ich nun jetzt nicht P1Q auf vektor a projezieren und
> danach den daraus erhaltenen projektierten projizierten vektor geteilt
> durch P1Q rechnen.
(Nebenbei: ![[]](/images/popup.gif) projizieren)
> dann erhalte ich ja den cosinus des winkels zwischen
> beiden
>
> und mit dem cosinus bekomme ich den winkel heraus und dann
> einfach
>
> P1Q mal sinus des winkels = höhe h ?
OK, das geht.
> wenn man einen vektor auf den andere projezieren wollen
> würde..... darf der daraus entstandene vektor länger sein
> als der ursprüngliche ?
Ja, kein Problem. Anstatt zu sagen, man projiziere einen
Vektor auf einen anderen Vektor, sollte man präziser sagen,
dass man den ersten Vektor auf eine Gerade projiziert,
deren Richtungsvektor der andere gegebene Vektor ist.
Ich denke, dass man die Lösung der Aufgabe einfacher
darstellen kann. Dabei gibt es zwei Möglichkeiten:
1.) nur mittels Skalarprodukt:
bezeichnen wir den Verbindungsvektor [mm] \overrightarrow{P_1Q} [/mm] mit [mm] \vec{b} [/mm]
dann berechnet man die Projektion [mm] \vec{p} [/mm] dieses Vektors auf
die Gerade g: $ [mm] \vec{p}\ [/mm] =\ [mm] \frac{ \vec{a}* \vec{b}}{ \vec{a}* \vec{a}}* \vec{a}$
[/mm]
Vorsicht: man kann in dieser Gleichung nichts kürzen !
Dann berechnet man den Höhenvektor [mm] $\vec{h}\ [/mm] =\ [mm] \vec{b}- \vec{p}$
[/mm]
Der gesuchte Abstand ist dann der Betrag dieses Vektors:
$\ d(Q,g)\ =\ [mm] |\vec{h}|$
[/mm]
2.) mittels Vektorprodukt:
Man berechnet den Flächeninhalt des durch die Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b}
[/mm]
aufgespannten Parallelogramms als Betrag des Vektorprodukts:
$\ F\ =\ [mm] |\vec{a}\times \vec{b}|$
[/mm]
Man berechnet den gesuchten Abstand so:
$\ d(Q,g)\ =\ [mm] \frac{Parallelogrammflaeche}{Grundlinie}\ [/mm] =\ [mm] \frac{|\vec{a}\times \vec{b}|}{ |\vec{a}|}$
[/mm]
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Smuji |
danke erstmal...
nein, P1 ist gegeben. die gerade geht durch P1 in richtung vektor a
Q ist der gegebene punkt von welchem der abstand zur geraden gefragt ist.
nun sagt mein mathebuch, dass man zuerst noch selbst einen zweiten punkt erstellen soll, der auch auf der geraden liegt und den abstand zu P1 von 1 hat. der vektor P1P2 ist somit der einheitsvektor von vektor a
so sagen die das dort....und ich verstehe nicht warum punkt P2 gebraucht wird und wieso der genau den abstand von 1 haben muss.....
wie du auf dem gezeichneten bild schwer erkennen kannst, ist vektor a recht kurz..... aber P2 liegt ganz weit rechts.....also der abstand von P1 zu P2 soll ja 1 sein, also die lönge des normierten vektors a.
in meinen augen müsste dieser abstand zeichnerisch kleiner dargestellt werden als vektor a lang ist.
als nächstes sagen die P1P2 = [mm] \vec{a} [/mm] / [mm] I\vec{a}I
[/mm]
ach k.a. die leiten irgendwie der formel her...vllt. auch nicht so wichtig.
was halt nur noch unklar ist...
wieso ist der normierte vektor a mit in der formel drinnen ? wieso muss er normiert sein und kann nicht so lang sein wie er ist ?
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[mm] \bruch{\vec{a}}{|\vec{a}|}
[/mm]
> nein, P1 ist gegeben. die gerade geht durch P1 in richtung
> vektor a
Hallo,
[mm] g:\qquad \vec{x}=\overrightarrow{0P_1}+\vec{a}.
[/mm]
>
> Q ist der gegebene punkt von welchem der abstand zur
> geraden gefragt ist.
>
>
> nun sagt mein mathebuch, dass man zuerst noch selbst einen
> zweiten punkt erstellen soll, der auch auf der geraden
> liegt und den abstand zu P1 von 1 hat. der vektor P1P2 ist
> somit der einheitsvektor von vektor a
Ja.
Ich hatte Dir doch bei der Berechnung mit dem Kreuzprodukt erklärt, warum man entweder mit einem Vektor der Länge 1 arbeiten oder, wenn man das nicht tut, anschließend durch [mm] |\vec{a}| [/mm] teilen muß.
Hast Du das durchgearbeitet?
Du bist nämlich gar nicht darauf eingegangen.
> wie du auf dem gezeichneten bild schwer erkennen kannst,
> ist vektor a recht kurz..... aber P2 liegt ganz weit
> rechts.....also der abstand von P1 zu P2 soll ja 1 sein,
> also die lönge des normierten vektors a.
>
>
> in meinen augen müsste dieser abstand zeichnerisch kleiner
> dargestellt werden als vektor a lang ist.
Nein.
"Normieren" bedeutet, daß man einen Vektor gleicher Richtung erzeugt, der die Länge 1 hat.
Wenn Du nun einen Vektor hast, der die Länge [mm] \bruch{1}{100000} [/mm] hat, ist der normierte Vektor natürlich beträchtlich länger.
>
>
> als nächstes sagen die P1P2 = [mm]\vec{a}[/mm] / [mm]I\vec{a}I[/mm]
Ja.
Schau, der Vektor [mm] \overrightarrow{P_1P_2} [/mm] hat die Länge 1. [mm] \vec{a} [/mm] zeigt in dieselbe Richtung, also ist [mm] \overrightarrow{P_1P_2} [/mm] der Einheitsvektor in Richtung [mm] \vec{a}, [/mm] also der Vektor, den man durch normieren von [mm] \vec{a} [/mm] bekommt.
>
>
> ach k.a. die leiten irgendwie der formel her...vllt. auch
> nicht so wichtig.
> wieso ist der normierte vektor a mit in der formel drinnen
> ? wieso muss er normiert sein und kann nicht so lang sein
> wie er ist ?
Bei der Berechnung per Kreuzprodukt hatte ich das erklärt.
Zu Deiner Idee via Skalarprodukt:
Es ist
[mm] \overrightarrow{P_1P_2}*\vec{a}="Länge [/mm] der Projektion von [mm] \overrightarrow{P_1P_2}auf \vec{a} [/mm] mal Länge von [mm] \vec{a}".
[/mm]
Du formulierst das mit dem cos.
Wenn Du nun statt mit [mm] \vec{a} [/mm] gleich mit dem normierten Vektor [mm] \bruch{\vec{a}}{|\vec{a}|} [/mm] multiplizierst, also
[mm] \overrightarrow{P_1P_2}*\bruch{\vec{a}}{|\vec{a}|} [/mm]
berechnest,
bekommst Du
[mm] \overrightarrow{P_1P_2}*\bruch{\vec{a}}{|\vec{a}|}
[/mm]
="Länge der Projektion von [mm] \overrightarrow{P_1P_2}auf \bruch{\vec{a}}{|\vec{a}|} [/mm] mal Länge von [mm] \bruch{\vec{a}}{|\vec{a}|}"
[/mm]
="Länge der Projektion von [mm] \overrightarrow{P_1P_2}auf \bruch{\vec{a}}{|\vec{a}|} [/mm] mal 1"
="Länge der Projektion von [mm] \overrightarrow{P_1P_2}auf [/mm] die Gerade"
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:35 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Smuji |
ok, leuchtet mir ein...
doch doch ich hatte deinen beitrag gelesen, nur ist das nicht ganz in meinen kopf gegangen ....
aber jetzt ist es schon viel verständlicher... besonders das mit dem normierten vektor...
vielen dank !
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