Abstand und Schnittpunkt zu E < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:24 So 15.05.2011 | | Autor: | emy123 |
Hi,
wir haben die Aufgabe den Abstand d und Schnittpunkt S vom Ursprung zu einer Ebene E zu finden.
Die Koordinatenform der Ebene heißt
12x+15y+20z=60
Die Normalenforn heißt dann
[mm] \vektor{12\\15\\20}*\vec{x}=60
[/mm]
Abstand [mm] d=\bruch{60}{\wurzel{769}}
[/mm]
Wie bekomme ich den Schnittpunkt S heraus?
Ich habe mir aufgeschrieben:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{769}}*\vektor{12\\15\\20}*\bruch{60}{\wurzel{769}}=\vektor{0,94\\1,17\\1,56}
[/mm]
aber warum muss man [mm] \bruch{1}{\wurzel{769}} [/mm] dazumultiplizieren?
Emy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:41 So 15.05.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> $ [mm] \bruch{1}{\wurzel{769}}\cdot{}\vektor{12\\15\\20}\cdot{}\bruch{60}{\wurzel{769}}=\vektor{0,94\\1,17\\1,56} [/mm] $
Der Vektor
[mm] $\vektor{12\\15\\20}$
[/mm]
hat die Länge [mm] $\wurzel{769}$, [/mm] also hat der Vektor
[mm] $\bruch{1}{\wurzel{769}}\vektor{12\\15\\20}$
[/mm]
die Länge 1, d.h. es ist ein normalisierter Normalenvektor.
Daraus folgt, daß
$$ [mm] \bruch{1}{\wurzel{769}}\cdot{}\vektor{12\\15\\20}\cdot\bruch{60}{\wurzel{769}}$$
[/mm]
die Länge
[mm] $\bruch{60}{\wurzel{769}}$
[/mm]
hat. D.h. Du gehst vom Ursprung in die richtige Richtung (weil der Normalenvektor senkrecht auf der Ebene steht) und die richtige Distanz (weil [mm] $60/\wurzel{769}$ [/mm] der Abstand der Ebene vom Ursprung ist), also bist Du damit am Lotfußpunkt.
ciao
Stefan
|
|
|
|
