Abstand von 2 Punkten < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Mo 23.04.2012 | | Autor: | xedir |
| Aufgabe | Hallo,
es geht mir hier darum, einer Formel oder einen Weg zu finden, wie ich die Koordinaten eines Punktes bestimmen kann, der auf einer Geraden liegt deren Gleichung ich kenne und der x LE von einem Punkt der Geraden entfernt ist der ebenfalls bekannt ist. |
Als bsp. habe ich:
Die Gerade x = [mm] \vektor{3 \\ 2 \\4} [/mm] + r [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Schneidet den Punkt [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2} [/mm] und einen Punkt der [mm] 8*\wurzel{3} [/mm] von [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2} [/mm] entfern ist. Als ergebnis müssten die Punkte [mm] \vektor{-7 \\-8\\ -6} [/mm] und [mm] \vektor{9 \\ 8 \\ 10} [/mm] kommen, bei dem Lösungsweg stehe ich nur total auf Holzweg
Danke im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 Mo 23.04.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo xedir,
was Dir hier Schwierigkeiten bereitet, das ist der Richtungsvektor Deiner Geraden, also
[mm] \vektor{1 \\
1 \\
1} [/mm]
Der gibt die Richtung an, hat aber nicht eine Länge von 1, sondern er ist etwas größer, nämlich nach dem alten Phytagoras hat er die Länge
[mm] \wurzel{1^2 + 1^2 + 1^2} = \wurzel{3} [/mm]
Wenn Du also Deine Laufvariable r um eine Einheit von 1 erhöhst, beispielsweise von 4 auf 5, so bist Du auf der Geraden nicht um eine Strecke von 1, sondern um eine Strecke von [mm] \wurzel{3} [/mm] vorangegangen.
Da es bei diesem Richtungsvektor nicht auf seine Länge ankommt, sondern eben um die Richtung, in die er zeigt, kannst Du ihn auch so schreiben, dass er eine Länge von 1 besitzt. Dazu musst Du einfach alle seine Komponenten durch [mm] \wurzel{3} [/mm] dividieren, schreibe ihn also als
[mm] \vektor{\bruch{1}{\wurzel{3}} \\
\bruch{1}{\wurzel{3}} \\
\bruch{1}{\wurzel{3}}} [/mm]
Damit bekommst Du für Deine Gleichung den Ausdruck, mit dem neuen Punkt (1/0/2),
[mm] x = \vektor{1 \\
0 \\
2} + k \vektor{\bruch{1}{\wurzel{3}} \\
\bruch{1}{\wurzel{3}} \\
\bruch{1}{\wurzel{3}}} [/mm].
Jetzt setze mal Deinen Entfernungswert von [mm] 8 \cdot \wurzel{3} [/mm] ein, und Du siehst, bei welchen Koordinaten Du landest.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:49 Mo 23.04.2012 | | Autor: | xedir |
Hammergut, danke dir werd ich direkt mal umsetzen.
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