Abstand von Kubikzahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gesucht sind alle ganzen Punkte auf der elliptischen Kurve [mm] 4y^2=x^3+1 [/mm] (d.h. alle Paare $(x,y) [mm] \in Z\times [/mm] Z$, die dieser Gleichung genügen). |
Hallo, ich habe die Aufgabe gelöst, jedoch muss ich nun noch zeigen, dass wenn ich größere aufeinanderfolgende ungerade Zahlen nehme und diese mit drei Potenziere das der Abstand dann nur noch größer wird. Wie mache ich das? Hier meine bisherige Lösung ich denke ihr versteht was ich meine:
Umstellen und faktorisieren der Gleichung gibt:
[mm] $(2y+1)\cdot(2y-1)=x^3$
[/mm]
Nun zeige ich, dass die beiden Faktoren auf der linken Seite selbst dritte Potenzen sind.
Da [mm] $y\in [/mm] Z$ ist, sind die Faktoren auf der linken Seite offensichtlich zwei ungerade aufeinanderfolgende Zahlen. Der größte gemeinsame Teiler zweier aufeinanderfolgender ungerader Zahlen ist [mm] $1$.\\
[/mm]
Betrachte [mm] $ggT((2y+1),(2y-1))=1$\\
[/mm]
Mit Proposition 2.8 folgt direkt, dass $(2y+1),(2y-1)$ dritte Potenten sind, da $Z$ ein ZPE-Ring ist, die Faktoren teilerfremd und ihr Produkt eine n-te Potenz mit [mm] $n\geq [/mm] 2$ [mm] ist.\\
[/mm]
Mit Propostion 2.8 folgt direkt: $(2y+1),(2y-1)$ sind selbst dritte [mm] Potenten.\\
[/mm]
Außerdem müssen sie ungerade sein und zueinander den Abstand $2$ haben. Dies geht jedoch nicht für Zahlen gleichen Vorzeichens, denn bereits [mm] $1^3$ [/mm] und [mm] $3^3$ [/mm] sowie [mm] $(-1)^3$ [/mm] und [mm] $(-3)^3$ [/mm] haben den Abstand [mm] $26$:\\
[/mm]
[mm] $\vert 1^3-3^3\vert=26>2$ [/mm] und [mm] $\vert -1^3-(-3)^3\vert [/mm] =26>2$ ist der Abstand deutlich größer als [mm] $2$.\\
[/mm]
Also bleiben nur Kubikzahlen unterschiedlicher Vorzeichen mit Abstand $2$, die einzige Möglichkeit hierfür ist $-1$ und [mm] $1$.\\
[/mm]
Einzige Möglichkeit: $2y-1=-1$ und $2y+1=1$ also $y=0$. Eingesetzt in [mm] $(2y+1)\cdot(2y-1)=x^3$ [/mm] folgt [mm] $x=-1$.\\
[/mm]
Einzige ganzzahlige Lösung [mm] $(-1,0)$.\\\\
[/mm]
Danke für eure Hilfe, Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:02 Fr 03.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Gesucht sind alle ganzen Punkte auf der elliptischen Kurve
> [mm]4y^2=x^3+1[/mm] (d.h. alle Paare [mm](x,y) \in Z\times Z[/mm], die dieser
> Gleichung genügen).
> Hallo, ich habe die Aufgabe gelöst, jedoch muss ich nun
> noch zeigen, dass wenn ich größere aufeinanderfolgende
> ungerade Zahlen nehme und diese mit drei Potenziere das der
> Abstand dann nur noch größer wird. Wie mache ich das?
> Hier meine bisherige Lösung ich denke ihr versteht was ich
> meine:
>
> Umstellen und faktorisieren der Gleichung gibt:
> [mm](2y+1)\cdot(2y-1)=x^3[/mm]
> Nun zeige ich, dass die beiden Faktoren auf der linken
> Seite selbst dritte Potenzen sind.
> Da [mm]y\in Z[/mm] ist, sind die Faktoren auf der linken Seite
> offensichtlich zwei ungerade aufeinanderfolgende Zahlen.
Das ist korrekt.
> Der größte gemeinsame Teiler zweier aufeinanderfolgender
> ungerader Zahlen ist [mm]1[/mm][mm] .\\[/mm]
> Betrachte [mm]ggT((2y+1),(2y-1))=1[/mm][mm] \\[/mm]
Auch das ist korrekt.
>
> Mit Proposition 2.8 folgt direkt, dass [mm](2y+1),(2y-1)[/mm] dritte
> Potenten sind, da [mm]Z[/mm] ein ZPE-Ring ist, die Faktoren
> teilerfremd und ihr Produkt eine n-te Potenz mit [mm]n\geq 2[/mm]
> [mm]ist.\\[/mm]
> Mit Propostion 2.8 folgt direkt: [mm](2y+1),(2y-1)[/mm] sind selbst
> dritte [mm]Potenten.\\[/mm]
Den Schritt kann ich nicht beurteilen, da ich Proposition 2.8 nicht kenne.
> Außerdem müssen sie ungerade sein und zueinander den
> Abstand [mm]2[/mm] haben. Dies geht jedoch nicht für Zahlen
> gleichen Vorzeichens, denn bereits [mm]1^3[/mm] und [mm]3^3[/mm] sowie [mm](-1)^3[/mm]
> und [mm](-3)^3[/mm] haben den Abstand [mm]26[/mm][mm] :\\[/mm]
> [mm]\vert 1^3-3^3\vert=26>2[/mm]
> und [mm]\vert -1^3-(-3)^3\vert =26>2[/mm] ist der Abstand deutlich
> größer als [mm]2[/mm][mm] .\\[/mm]
Das ist ok soweit.
> Also bleiben nur Kubikzahlen
> unterschiedlicher Vorzeichen mit Abstand [mm]2[/mm], die einzige
> Möglichkeit hierfür ist [mm]-1[/mm] und [mm]1[/mm][mm] .\\[/mm]
> Einzige
> Möglichkeit: [mm]2y-1=-1[/mm] und [mm]2y+1=1[/mm] also [mm]y=0[/mm]. Eingesetzt in
> [mm](2y+1)\cdot(2y-1)=x^3[/mm] folgt [mm]x=-1[/mm][mm] .\\[/mm]
> Einzige ganzzahlige
> Lösung [mm](-1,0)[/mm][mm] .\\\\[/mm]
Das sieht auch gut aus.
>
> Danke für eure Hilfe, Ich habe diese Frage in keinem Forum
> auf anderen Internetseiten gestellt.
Marius
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