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Hallo!
Ich habe eine Verständnissfrage:Warum kann ich mit der Formel [mm] |(\vec{x}-\vec{p})*\vec{n_0}|=d [/mm] den Abstand zwischen einer Gerade und einen Punkt berechnen?Ich verstehe dass das Skalarprodukt [mm] |\vec{a}*\vec{b}|=|\vec{a}|*|\vec{b}|*cos(\vec{a},\vec{b}) [/mm] Null ergibt wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen.Aber das ist nicht der Fall denn [mm] \vec{x} [/mm] befindet sich nicht auf der Gerade!Wie ist zu erklären, dass ich als Ergebniss den Abstand erhalte?
Noch eine Frage: Kann ich den Abstand auch so berechnen:(Indem ich durch den Punkt noch eine zweite Parallele laufen lasse wobei [mm] |b_1-b_2| [/mm] ist die Differenz der y_Achsen Abschnitte.Kann das so als Formel verallgemeinert werden?
[mm] x=\sin(|90°-arctan(m)|)*|b_1-b_2|
[/mm]
Könnte mir das bitte jemand erklären?
Vielen Dank!
Gruß
Angelika
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Guten Tag Angelika
> Warum kann ich mit der
> Formel [mm]|(\vec{x}-\vec{p})*\vec{n_0}|=d[/mm] den Abstand zwischen
> einer Gerade und einen Punkt berechnen?
Handelt es sich um eine Gerade in der Ebene (nur 2 Koordinaten)
oder im Raum [mm] \IR^3 [/mm] ?
Wie lautet die Geradengleichung ?
> Ich verstehe dass das Skalarprodukt
> [mm]|\vec{a}*\vec{b}|=|\vec{a}|*|\vec{b}|*cos(\vec{a},\vec{b})[/mm]
> Null ergibt wenn die Vektoren senkrecht aufeinander
> stehen.Aber das ist nicht der Fall denn [mm]\vec{x}[/mm] befindet
> sich nicht auf der Gerade!Wie ist zu erklären, dass ich als
> Ergebniss den Abstand erhalte?
>
> Noch eine Frage: Kann ich den Abstand auch so
> berechnen:(Indem ich durch den Punkt noch eine zweite
> Parallele laufen lasse wobei [mm]|b_1-b_2|[/mm] ist die Differenz
> der y_Achsen Abschnitte.Kann das so als Formel
> verallgemeinert werden?
>
> [mm]x=\sin(|90°-arctan(m)|)*|b_1-b_2|[/mm]
das sollte so funktionieren
Und damit ist auch klar, dass es dir offenbar um Geraden
in der x-y-Ebene geht. Also zurück zur ersten Frage, an
einem konkreten Beispiel:
Gerade g: 4x-3y=8 Punkt X(12/5)
g hat den Normalenvektor [mm] \vec{n}=\vektor{4\\-3}
[/mm]
Der auf die Länge 1 normierte Normalenvektor ist
[mm] \vec{n}_o=\bruch{1}{|\vec{n}|}*\vec{n}=\bruch{1}{5}\vektor{4\\-3}=\vektor{0.8\\-0.6}
[/mm]
In der Formel [mm]|(\vec{x}-\vec{p})*\vec{n_0}|=d[/mm]
steht [mm] \vec{x} [/mm] für den Ortsvektor des Punktes X und [mm] \vec{p}
[/mm]
für den eines bekannten Punktes P auf der Geraden g.
Der Vektor [mm] \vec{x}-\vec{p} [/mm] = [mm] \overrightarrow{PX} [/mm] bildet
mit dem Normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] bzw. [mm] \vec{n}_o [/mm] einen
Winkel [mm] \varphi [/mm] . Wäre [mm] X\in [/mm] g , so hätte man [mm] \varphi=90°.
[/mm]
Es interessieren aber auch die anderen Fälle, d.h. man braucht
die allgemeine Definition des Skalarprodukts:
[mm] \overrightarrow{PX}*\vec{n}_o=|\overrightarrow{PX}|*|\vec{n}_o|*cos(\varphi)
[/mm]
Wegen [mm] |\vec{n}_o|=1 [/mm] ist
[mm] \overrightarrow{PX}*\vec{n}_o=|\overrightarrow{PX}|*cos(\varphi)
[/mm]
Mittels einer Skizze findest du ein rechtwinkliges Dreieck, aus
dem ersichtlich ist, dass die rechte Seite dieser Gleichung dem
Abstand des Punktes X von der Geraden g entspricht.
Um die Rechnung noch durchzuführen: Was ist hier der
Punkt P ? Es darf irgendein Punkt auf g sein, also zum
Beispiel der Punkt P(2/0), denn dessen Koordinaten
erfüllen offensichtlich die Geradengleichung.
[mm]d=\left|(\vec{x}-\vec{p})*\vec{n_0}\right|=\left|\left(\vektor{12\\5}-\vektor{2\\0}\right)*\vektor{0.8\\-0.6} \right|=\left|\vektor{10\\5}*\vektor{0.8\\-0.6} \right|=5[/mm]
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