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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 Di 14.12.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Es ist eine Funktion/Kurve in impliziter Form gegeben: [mm] x^2 [/mm] -2xy + [mm] 3y^2 [/mm] = 4.
bestimme den am nächsten und am weitesten vom ursprung (0,0) entfernten Kurvenpunkt.
Ich bestimme mal durch Ableiten die Tangente
m = [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = - [mm] \bruch{F_x}{F_y} [/mm] = [mm] \bruch{2x -2y}{-2x + 6y} [/mm] = [mm] \bruch{2(x -y)}{2*(-x + 3y)} [/mm] = [mm] \bruch{x -y}{-x + 3y}
[/mm]
ich schreibe mal die Steigung als Vektor [mm] \vektor{-x + 3y \\ x -y}
[/mm]
Der Abstand vom Nullpunkt zu einem Kurvenpunkt steht ja rechtwinklig auf der Tangente. Also würde dieser Vektor wie folgt aussehen:
[mm] \vektor{x -y\\ x - 3y}
[/mm]
Dieser Ortsvektor hat den Betrag: [mm] \wurzel{(x-y)^2 + (x -3y)^2} [/mm] = [mm] \wurzel{x^2 -2xy + y^2 + x^2 -6xy + 9y^2} [/mm] = [mm] \wurzel{2x^2 -8xy + 10y^2}
[/mm]
Ich nenne diese Funktion f(x)
Um den minimalen und maximalen Abstand zu ermitteln, leite ich dies ab. Doch auch hier kann ich das nicht "hermömmlich ableiten, sondern muss wieder [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = - [mm] \bruch{F_x}{F_y}
[/mm]
Aber irgendwie habe ich das Gefühl ich bin ab der richtigen Spur geraten
Danke, Gruss Kuriger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:58 Di 14.12.2010 | | Autor: | weduwe |
eine möglichkeit wäre, die funktion implizit zu differenzieren,
damit hat man
[mm] y^\prime=\frac{x-y}{x-3y} [/mm]
aus [mm] y^\prime\cdot \frac{y}{x}=-1 [/mm] folgt sofort [mm] y=\pm [/mm] 1
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Di 14.12.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Habe ja das auf ähnliche Weise differenziert
>
> [mm]y^\prime=\frac{x-y}{x-3y}[/mm]
Ist das nun die Tangente, oder die Steigung rechtwinklig auf der tangente?
>
> aus [mm]y^\prime\cdot \frac{y}{x}=-1[/mm] folgt sofort [mm]y=\pm[/mm] 1
Diesen Schritt kann ich leider überhaupt nicht nachvollziehen
Danke für die Hilfe
gruss Kuriger
>
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 Di 14.12.2010 | | Autor: | weduwe |
> Hallo
>
> Habe ja das auf ähnliche Weise differenziert
>
>
> >
> > [mm]y^\prime=\frac{x-y}{x-3y}[/mm]
>
> Ist das nun die Tangente, oder die Steigung rechtwinklig
> auf der tangente?
> >
> > aus [mm]y^\prime\cdot \frac{y}{x}=-1[/mm] folgt sofort [mm]y=\pm[/mm] 1
>
> Diesen Schritt kann ich leider überhaupt nicht
> nachvollziehen
>
> Danke für die Hilfe
>
> gruss Kuriger
> >
> >
>
[mm] y^\prime\cdot \frac{y}{x}=-1\to \frac{x-y}{x-3y}\cdot\frac{y}{x}=-1
[/mm]
ausmultiplzieren ergibt
[mm] (I)\quad{ }x^2-2xy-y^2=0
[/mm]
[mm] (II)\quad{ } x^2-2xy+3y^2=4
[/mm]
(II) - (I) liefert [mm] y^2=1
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Mi 15.12.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo Weduwe
Leider brauche ich nochmals deine Hilfe
Du hast ja die Tangentesteigung ausgerechnet:
[mm] y^\prime=\frac{x-y}{x-3y} [/mm]
[mm] \bruch{y}{x} [/mm] ist die Steigung rechtwinklig zur Tangente
[mm] y^\prime\cdot \frac{y}{x}=-1\to \frac{x-y}{x-3y}\cdot\frac{y}{x}=-1
[/mm]
Doch was ist nun:
[mm](I)\quad{ }x^2-2xy-y^2=0[/mm]
ist das nun jene Funktion durch den Nullpunkt, welche rechtwinklig auf der Tangente der Funktion (II) steht? Ich sehe leider nicht wie (I) zustande kommt
Vielen Dank für die Hilfe
gruss Kuriger
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Hallo Kuriger,
> Hallo Weduwe
>
> Leider brauche ich nochmals deine Hilfe
>
> Du hast ja die Tangentesteigung ausgerechnet:
> [mm]y^\prime=\frac{x-y}{x-3y}[/mm]
>
> [mm]\bruch{y}{x}[/mm] ist die Steigung rechtwinklig zur Tangente
> [mm]y^\prime\cdot \frac{y}{x}=-1\to \frac{x-y}{x-3y}\cdot\frac{y}{x}=-1[/mm]
>
> Doch was ist nun:
> [mm](I)\quad{ }x^2-2xy-y^2=0[/mm]
> ist das nun jene Funktion durch
> den Nullpunkt, welche rechtwinklig auf der Tangente der
> Funktion (II) steht? Ich sehe leider nicht wie (I) zustande
> kommt
Das ist die Gleichung
[mm]\frac{x-y}{x-3y}\cdot\frac{y}{x}=-1[/mm]
in anderer Form geschrieben.
Multiplikation dieser Gleichung mit [mm]\let(x-3y\right)*x[/mm] liefert:
[mm]\left(x-y\right)*y=\left(-1\right)*\left(x-3y\right)*x[/mm]
Dies jetzt ausmultipliziert und auf die Form [mm]\ ... \ = 0[/mm]
gebracht fördert diese Gleichung (I) zu Tage.
>
> Vielen Dank für die Hilfe
>
> gruss Kuriger
Gruss
MathePower
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