Abstand windschiefer Gerade < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Mi 06.01.2010 | | Autor: | fndrx |
Hallo, ich werde hier nicht die Aufgabe o.ä. posten da mir lediglich ein Anatz fehlt. Die Aufgabe war zuerst folgende: Bestimmen sie den Abstand der windschiefen Geraden. Dies habe ich durch das Aufstellen zweier Ebenen gelöst und der HNF gelöst. Soweit so gut , nun soll man jedoch die beiden Punkte H und G auf den geraden h und g so bestimmen, dass die den Abstand der beiden Geraden haben, sprich der kleinste Abstand- zumindest habe ich das so verstanden- Wie könnte man das lösen ? Wollte zuerst durch
d(Abstand) = [mm] |\overrightarrow{GH}| [/mm] das ganze ausrechnen, jedoch habe ich bei [mm] \overrightarrow{GH} [/mm] 2 Variablen nämlich die der beiden Richtungsvektoren von g und h
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Du kannst den Normalenvektor der einen Ebene aufstellen und schauen wo er die andere Ebene schneidet. Der Normalenvektor ist ja immer senkrecht zu der Ebene.
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> Hallo, ich werde hier nicht die Aufgabe o.ä. posten da mir
> lediglich ein Anatz fehlt. Die Aufgabe war zuerst folgende:
> Bestimmen sie den Abstand der windschiefen Geraden. Dies
> habe ich durch das Aufstellen zweier Ebenen gelöst und der
> HNF gelöst. Soweit so gut , nun soll man jedoch die beiden
> Punkte H und G auf den geraden h und g so bestimmen, dass
> die den Abstand der beiden Geraden haben, sprich der
> kleinste Abstand- zumindest habe ich das so verstanden- Wie
> könnte man das lösen ? Wollte zuerst durch
> d(Abstand) = [mm]|\overrightarrow{GH}|[/mm] das ganze ausrechnen,
> jedoch habe ich bei [mm]\overrightarrow{GH}[/mm] 2 Variablen
> nämlich die der beiden Richtungsvektoren von g und h
Im Prinzip sollte dies möglich sein, ist aber eher um-
ständlich und numerisch ziemlich kritisch, weil es viele
Punktepaare (G,H) gibt, deren Abstand nur minim größer
als der Minimalabstand ist.
Du solltest verwenden, dass die Verbindungsstrecke [mm] \overline{GH}
[/mm]
senkrecht zu g und senkrecht zu h ist. Z.B. kannst du
aus den Richtungsvektoren von g und h durch das
vektorielle Produkt einen Richtungsvektor für GH
berechnen.
Alternativ könnte man die Aufgabe auch als Extrem-
wertproblem mit 2 Variablen lösen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Mi 06.01.2010 | | Autor: | fndrx |
Ja klar ,ich kann den Vektor ausrechnen , der senkrecht auf g und h steht. Diesen Normalenverktor habe ich aber schon lange, da er in der aufgabe zuvor vonnöten war. Aber ich weiss nicht was ich mit diesem Normalenvektor anfangen soll.
Um das hier zu verdeutlichen : Seit [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] Richtungsvektoren der Geraden mit [mm] \vec{a} [/mm] = (a1,a2,a2) und [mm] \vec{b}= [/mm] (b1,b2,b3) muss das LGS :
a1 + a2+ a3=0
b1 + b2 + b3= 0
gelöst werden. Alternativ kann auch das Kreuzprodukt berechnte werden.
Dadurch habe ich den Normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] erhalten.
Aber wie gehts weiter ? Und wäre die Alternative mit dem Extremwertproblem nicht genau mein angesprochener Ansatz ?
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> Ja klar ,ich kann den Vektor ausrechnen , der senkrecht auf
> g und h steht. Diesen Normalenverktor habe ich aber schon
> lange, da er in der aufgabe zuvor vonnöten war.
O.K. Nennen wir ihn [mm] \vec{n}
[/mm]
> Aber ich weiss nicht was ich mit diesem Normalenvektor
> anfangen soll.
> Um das hier zu verdeutlichen : Seit [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm]
> Richtungsvektoren der Geraden mit [mm]\vec{a}[/mm] = (a1,a2,a2) und
> [mm]\vec{b}=[/mm] (b1,b2,b3) muss das LGS :
>
> a1 + a2 + a3 = 0 ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> b1 + b2 + b3 = 0 ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
> gelöst werden. Alternativ kann auch das Kreuzprodukt
> berechnte werden.
> Dadurch habe ich den Normalenvektor [mm]\vec{n}[/mm] erhalten.
> Aber wie gehts weiter ?
Bilde aus der Gerade g (Richtungsvektor [mm] \vec{a}) [/mm] zusammen
mit dem Richtungsvektor [mm] \vec{n} [/mm] eine Ebene E.
Berechne den Schnittpunkt dieser Ebene E mit der
anderen Geraden h. So erhältst du den Punkt H, den
einen Endpunkt der Verbindungsstrecke. Für den
anderen Endpunkt G: analoge Rechnung.
> Und wäre die Alternative mit dem
> Extremwertproblem nicht genau mein angesprochener Ansatz ?
Falls du die Formel für die Distanz [mm] |\overline{GH}| [/mm] schon als Funktion
zweier Parameter (z.B. s und t) aufgestellt hast (Tipp: nimm
als Funktion gleich das Quadrat des Abstandes: Q(s,t) ),
ist dies ein Anfang dazu. Dann brauchst du die partiellen
Ableitungen von Q(s,t) nach s und nach t. Setze diese
beiden Ableitungen gleich Null. Dies ergibt ein lineares
Gleichungssystem für s und t. Aus den Lösungswerten
errechnest du dann die Koordinaten von G und H.
LG Al-Chw.
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