Abstand windschiefer Geraden < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 So 16.12.2007 | | Autor: | Loon |
Hallo,
Ich habe allgemein eine Frage zur Berechnung des Abstands zwischen windschiefen Geraden.
Zunächst bestimme ich einen Verbindungsvektor zwischen beiden Geraden, indem ich die Parameterdarstellungen voneinander abziehe.
In einer Beispielaufgabe in unserem Buch wird im Anschluss daran festgelegt, dass das Skalarpodukt des Verbindungsvektors und der beiden Richtungsvektoren der Parameterdarstellungen jeweils 0 ergeben muss.
Soweit verstehe ich die Vorgehensweise.
Aus den Formeln [mm] \vektor{PQ} [/mm] * Richtungsvektor 1 = 0
und [mm] \vektor{PQ} [/mm] * Richtungsvektor 2 = 0
leitet unser Buch dann ohne weitere Erklärungen ein Gleichungssystem ab.
Doch wie kommt man auf dieses System?
Ich würde mich über Tipps sehr freuen, weil ich morgen eine Klausur über dieses Thema schreiben muss....
Danke,
Loon
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 So 16.12.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
dass du die beiden Parametervektoren voneinander abziehst liegt daran:
Du nimmst dir erstmal einen allgemeinen Punkt auf der Geraden g (die nenn ich jetzt mal so) und auf der Geraden h. Dann ist die Differenz der beiden Punkte (die parametrisiert sind, da sie ja allgemein sind) gleich dem Verbindungsvektor. Ist das soweit noch klar?!
Gut, folgende Überlegung: Wenn du die Straße überqueren willst von einer zur anderen Seite, wie ist der kürzeste Weg? Wenn du Diagonal rübergehst, oder wenn du senkrecht die Straßenseite wechselst?
Genau der selbe Gedanke ist hier: Die Verbindungsstrecke ist genau dann am kleinsten, wenn dein Verbindungsvektor sowhl senkrecht auf der einen als auch senkrecht auf der anderen Geraden steht.
Wenn stehen die senkrecht aufeinanderß Genau, wenn der Verbindungsvektor senkrecht auf dem Richtungsvkeotr der Geraden h UND der Geraden g steht. Das kannst du dann mit dem Skalaprodukt überprüfen.
Kannst du das Vorgehen jetzt besser verstehen? Wenn nein, sag bitte genauer, woran es hakt.
Lieben Gruß,
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 So 16.12.2007 | | Autor: | Loon |
Hey,
Vielen Dank für die schnelle Antwort! 
Soweit hatte ich die Problematik vorher schon verstanden, ich glaube, ich habe mich nur - mal wieder - mathematisch völlig unverständlich ausgedrückt...
Ich schreib einfach mal das Beispiel aus unserem Buch auf, vielleicht wird meine Frage dann verständlicher.
So, die Aufgabe lautet:
Die Flugroute eines Flugzeugs, gegeben durch die Parameterdarstellung der Geraden g: [mm] \overrightarrow{OX} [/mm] = [mm] \vektor{-2}{3}{1} [/mm] + [mm] \lambda\vektor{3}{-1.5}{1} [/mm] und die Flugroute eines Sportfugzeugs, das im Punkt B (1/-6/5) mit der Geschwindigkeit [mm] \overrightarrow{w}=\vektor{-75}{150}{-50} [/mm] geortet wird, sind zueinander windschief. Bestimmen Sie den Abstand der Flugrouten voneinander.
Die Vorüberlegung lautet, die Länge des Verbindungsvektors PQ zu bestimmen.
Durch Abziehen der beiden Parameterdarstellungen voneinander ergibt sich für [mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] :
[mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] = [mm] \vektor{3-3\lambda - 75\mu}{-9+1.5\lambda + 150\mu}{4-\lambda - 50\mu}
[/mm]
Da PQ senkrecht auf beide Geraden steht, müssen die Skalarprodukte 0 sein. Soweit ist mir noch alles klar.
Jetzt steht weiterhin im Buch:
Für die Skalarprodukte gilt:
PQ * [mm] \vektor{3}{-1.5}{1} [/mm] = 0
PQ * [mm] \vektor{-75}{150}{-50}
[/mm]
Die beiden Orthogonalitätsbedingungen liefern jetzt das Gleichungssystem:
[mm] -12.25\lambda [/mm] - [mm] 500\mu [/mm] = -26.5
[mm] 500\lambda [/mm] + [mm] 30625\mu [/mm] = 1325.
Mir ist überhaupt nicht klar, wie man vom Skalarprodukt zu diesem Gleichungssystem kommt...das war meine Frage!
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 So 16.12.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ich kann deine Gleichungen nicht ganz nachvollziehen....
Das letze Gleichungssystem kommt aber so zustande, in dem man das Skalarprodukt von dem Verbindungsvektor 1) mit dem Richtungsvektor der einen Geraden berechnet, und das 0 setzt, und 2) mit dem Rechtungsvektor der anderen geraden genau das selbe macht.
Also: Berechne mal die Skalarprodukte von dem Verbindungsvkeotr mit den beiden Richtungsvektoren der Geraden, und setzte beide gleich 0 (was ja heißt, dass der Verbindungsvektor senkrecht auf beiden Geraden steht, und somit die kürzeste Verbindung zwischen beiden darstellt). Dann hast du zwei Gleichungen mit den Unbekannten [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu, [/mm] und dann kannst du die beiden berechnen, und bekommst damit dann die beiden Punkte heraus, wo der Verbindungsvektor die minimale Länge hat.
So kommen die unteren beiden Gleichungen zustande.
LG
Kroni
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