Abstand windschiefer Geraden < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich hatte hier schon einmal einen solchen Thread gelesen, der allerdings mit Hilfe eines Taschenrechners berechnet wurde. Ich selbst habe den Ti 92 und wir sollen den minimalen Abstand der Geraden: (g: [mm] \vektor{0 \\ 6 \\ 4 } [/mm] + r [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ -2 } [/mm] und
h: [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 0 } [/mm] + r [mm] \vektor{4 \\ 6 \\ 2 } [/mm]
berechnen. Aber mein lehrer meinte, das ginge mit einer Ableitung. Und nun weiß ich nicht wie genau ich dass machen soll.
In dem anderen Thread stand, wir tuen so, als ob wir die Punkte schon hätten, also [mm] \overrightarrow{G1H1}
[/mm]
Aber was mach ich dann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 Di 01.03.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Nickel
> Hallo,
> ich hatte hier schon einmal einen solchen Thread gelesen,
> der allerdings mit Hilfe eines Taschenrechners berechnet
> wurde. Ich selbst habe den Ti 92 und wir sollen den
> minimalen Abstand der Geraden: (sorry, ich krieg das nicht
> hin, die 3 Zahlen sollten in den Klammern jeweils
> untereinander und nicht nebeneinander liegen!)
Da musst du einfach an Stelle des Kaufmanns-und einen doppelten Backslash machen.
> g: [mm]\vec{x} \pmat{ 0 & 6 & 4 }[/mm] + r [mm]\pmat{ -1 & -1 & -2 }[/mm]
> und
> h: [mm]\vec{x} \pmat{ 3 & 0 & 0 }[/mm] + s [mm]\pmat{ 4 & 6 & 2 }
[/mm]
>
> berechnen. Aber mein lehrer meinte, das ginge mit einer
> Ableitung. Und nun weiß ich nicht wie genau ich dass machen
> soll.
>
Gut, dann machen wir es so. 
Es gibt die ganz einfache Ueberlegung:
Die x,y und z-Koordinaten der Geraden g sind ja diese:
$x=-r_$
$y=6-r_$
$z=4-2r_$
Die x,y und z-Koordinaten der Geraden h sind diese:
$x=3+4s_$
$y=6s_$
$z=2s_$
Mit hilfe des Pythagoras kannst du den Abstand dieser 2 Punkte Berechnen (bei gegebenem r und s). Der Einfachheit halber nehmen wir das Quadrat des Abstandes, dann brauchen wir uns nicht mit Wurzeln herumzuschlagen. Ich bezeichne das Quadrat des Abstandes mit f(r,s):
[mm] $f(r,s)=(3+4s+r)^2+(6s-6+r)^2+(2s-4+2r)^2$
[/mm]
Siehst du, wie das zustande gekommen ist? Einfach die Differenz der Koordinaten nehmen und Quadrieren. Ich habe Punkt auf h minus Punkt auf g gerechnet.
Jetzt müssen einfach r und s so bestimmt werden, dass die obige Funktion minimal wird. Dazu leitet man einmal nach r ab, und einmal nach s. Beide Ableitungen müssen Null sein. Es entsteht also ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in den zwei Unbekannten r und s.
Versuche jetzt doch, mit diesen Tipps weiterzukommen. Zeige uns dann deine Rechnung oder evtl. auch weitere Fragen, wenn es nicht hinhaut.
Mit lieben Grüssen
Paul
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Nochmal zurück zu den Ableitungen. Wenn ich nun mit meinem rechner nach r und nach s ableite, bekomme ich nicht Null raus!?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 Di 08.03.2005 | | Autor: | Andi |
Hallo Nickel,
> Nochmal zurück zu den Ableitungen. Wenn ich nun mit meinem
> rechner nach r und nach s ableite, bekomme ich nicht Null
> raus!?
Nach dem Ableiten, bekommst du die sogenannte Ableitfunktion und diese musst du gleich Null setzen. Dies machst du weil du weißt, dass ein Minimum des Abstandes immer bei Nullstellen der Ableitfunktion zu finden sind.
Hmm ... ich bin mir jetzt nicht sicher ob das verständlich genug war, aber wenn nicht dann frag halt einfach nocheinmal nach.
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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ok, vielen Dank für die Tipps, haben die Aufganbe nun im Unterricht besprochen und das war genau das was wir machen sollten. Hat im Endeffekt auch geklappt.
Dankeschön :)
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Erstmal n dickes Dankeschön :)
Mein Problem ist jetzt nurnoch, wenn nun bei beiden Ableitungen Null rauskommt, muss ich dass dann irgendwie noch umwandeln in eine parametrische Funktion oder so? Ich weiß nämlich nicht, wie ich dann auf die Länge des Vektors bei der minimalsten Entfernung komme?!
LG Aggro
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Di 01.03.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Nickel
nun, das Gleichungssystem liefert ja eindeutige Werte für r und für s. Diese setzt du einfach bei der Funktion für das Quadrat des Abstandes ein. Ziehst du noch die Wurzel, dann hast du den Abstand. Wenn du die beiden Punkte auf den beiden Geraden haben willst, die eben diesen minimalen Abstand einnehmen, dann setzt du die berechneten Werte für r und s einfach bei deinen Geradengleichungen ein. 
Mit lieben Grüssen
Paul
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