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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:54 Mi 08.06.2005 | | Autor: | oxy |
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Hi,
ich bin gerade am büffel für die Prüfungen und bin gerade über folgende Aufgabe gestolpert :
[mm] f(x)=x^2*e^x
[/mm]
Zeige das die Funktion f zwei Punkte mit der waagrechten Tangente besitzt. Bestimmen Sie den Abstand dieser beiden Punkte.
Die Lösung soll sein : d= [mm] \wurzel [/mm] 4+16e^-4
Ich hätte jetzt die erste Ableitung gemacht, aber dann komm ich nicht mehr weiter . Wie komme ich dann auf das Ergebnis ?
Produktregel -> f'(x) = [mm] 2x*e^x+e^x*x² [/mm] ?
mfg oxy
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Hi, Stefan,
> [mm]f(x)=x^2*e^x[/mm]
> Zeige das die Funktion f zwei Punkte mit der waagrechten
> Tangente besitzt. Bestimmen Sie den Abstand dieser beiden
> Punkte.
> Die Lösung soll sein : d= [mm]\wurzel[/mm] 4+16e^-4
>
> Ich hätte jetzt die erste Ableitung gemacht, aber dann komm
> ich nicht mehr weiter . Wie komme ich dann auf das Ergebnis
> ?
> Produktregel -> f'(x) = [mm]2x*e^x+e^x*x²[/mm] ?
Richtig! Da [mm] e^{x} [/mm] nicht null werden kann, gilt:
f'(x) = 0 <=> 2x + [mm] x^{2} [/mm] = 0
Die Lösungen (hättest Du sicher auch geschafft) sind:
[mm] x_{1}=0; x_{2} [/mm] =-2.
Die beiden Punkte, in denen der Graph waagrechte Tangenten besitzt, sind demnach:
[mm] P_{1}(0 [/mm] ; 0) und [mm] P_{2}(-2 [/mm] ; [mm] 4*e^{-2})
[/mm]
Wie berechnet man den Abstand (bzw. die Entfernung) d zweier Punkte im Koordinatensystem?
Nun: Das ist letztlich eine Anwendung des Pythagoras (zu finden in jeder guten Formelsammlung; manchmal sogar in einer schlechten!):
d = [mm] \wurzel{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}}
[/mm]
Die oben berechneten Werte einzusetzen - das schaffst Du nun sicher selbst!
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