Abstand zur Asymptote < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 Do 04.03.2004 | | Autor: | Be123 |
Hallo! Wie kann ich den Bereich errechnen, wo die Asymptote a(x)=1 von ihrer Funktion [mm] (x^2+x)/(x+2)^2 [/mm] weniger als 0,5 FE entfernt ist? Vielen Dank!
(der Rest von der Asymptote ist [mm] (-3x-4)/(x^2+4x+4))
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 Do 04.03.2004 | | Autor: | Oliver |
Hi,
Du warst eigentlich schon auf dem richtigen Weg. Der Abstand der Asymptote von der Funktion ist doch gerade [mm]r(x) = \begin{vmatrix} f(x)-a(x) \end{vmatrix} [/mm], also gerade der Betrag Deines Restes [mm]r(x) = \begin{vmatrix}\frac{-3x+4}{(x+2)^2} \end{vmatrix} [/mm].
Jetzt versuche mal die Ungleichung r(x)<0,5 zu lösen.
Zwei Tipps noch:
1. [mm] (x+2) ^2[/mm] ist ja nicht-negativ, beim Multiplizieren der Ungleichung damit kriegst Du also keine Probleme.
2. Wenn Du auf eine quadratische Ungleichung kommst, löse einfach mal die entsprechende Gleichung und überlege Dir dann in welchem Bereich die Ungleichung erfüllt ist.
Grüße
Oliver
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Do 04.03.2004 | | Autor: | Be123 |
danke für den Tipp!
Ich hab aber noch Probleme mit den Lösungen:
-1,39 -8,61
das scheint mir nicht so plausibel zu sein.
[Dateianhang nicht öffentlich]
aja, jetzt ist mir der Fehler aufgefallen. Ich muss sagen, dass der Abstand kleiner als -0,5 sein soll!
Dann ist mein Ergebnis -1,24 < x < 3,24
danke!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:13 Do 04.03.2004 | | Autor: | Oliver |
Halt halt, nicht so schnell. Erstmal Glückwunsch zu den richtigen Einzellösungen, aber beim Zusammensetzen des richtigen Intervalls stimmt was nicht. (das kannst Du auch an Deiner Grafik sehen: zwischen -1,24 und 3,24 ist sie ja stellenweise viel weiter von der Asymptote weg. als die geforderten 0,5.)
Das Ganze mal didaktisch (hoffentlich) sauber:
[mm] \left| \frac{-3x-4}{(x+2)^2} \right| <0,5 [/mm] ist genau dann erfüllt, wenn 1. [mm] \frac{-3x-4}{(x+2)^2} <0,5 [/mm] und 2. [mm] \frac{-3x-4}{(x+2)^2} >-0,5 [/mm] gilt.
Schauen wir uns mal die erste Ungleichung an: Wie Du richtig gerechnet hast, folgt aus 1. nach einigen Zwischenschritten [mm] x^2+10x+12 > 0 [/mm]. Wenn wir die zugehörige Gleichung mit der pq-Formel lösen, erhalten wir [mm] x_{1/2}=-5 \pm \wurzel{13} [/mm]. Jetzt schau Dir mal die Parabel genau an .... sie ist nach oben offen (positives Vorzeichen von [mm]x^2[/mm]) und hat, wie wir gesehen haben, zwei Nullstellen. Das heißt doch gerade, dass sie zwischen den Nulstellen negativ und außen positiv ist. Das heißt, das in Frage kommende Intervall [mm] I_1 = \left]-\infty;-5-\wurzel{13} \right[ \cup \left]-5+\wurzel{13};\infty \right[ [/mm]
So, jetzt muss man das Gleiche für die zweite Ungleichung machen, auch hier bekommst Du ein Intervall [mm] I_2 [/mm] heraus. Deine Lösung ist dann einfach der Schnitt [mm] I_1 \cap I_2 [/mm]
Probier' mal den Rest bitte selber und poste doch hier dann Deinen Lösungsweg. Du müsstest insgesamt drei (Teil-)Intervalle herausbekommen, zwei "große" und ein "kleines".
Viel Erfolg
Oliver
P.S. Bitte pass auf, wenn Du als Lösung so etwas wie "-1,39" angibst. Auch wenn es der auf 2 Stellen gerundete Wert von "[mm]-5+\wurzel{13}[/mm]" ist, so ist trotzdem der Wurzelausdruck die korrekte Lösung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:16 Fr 05.03.2004 | | Autor: | Be123 |
ok super!
dann hab ich
unendlich < x < -8,6
-1,39 < -1,24
3,24 < unendlich
(entsprechend mit den Wurzeln)
Auf jeden Fall hast du mir super geholfen!
(in 40 Minuten schreib ich mein Mathe-Abitur  )
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:31 Sa 06.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Be123,
> (in 40 Minuten schreib ich mein Mathe-Abitur )
Wie ist es denn gelaufen?
Viele Grüße,
Marc.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:29 Sa 06.03.2004 | | Autor: | Be123 |
Dank der schnellen Hilfe von Oliver hatte ich bei dieser Aufgabe kein Problem. Fast die gleiche Aufgabe kam dran :
[mm] (x^2-8)/(x-2)^2
[/mm]
Bereich berechnen, wo der Abstand von der Funktion zur Asymptote kleiner als 0,1 ist.
]-->
[Dateianhang nicht öffentlich]
Für die anderen Aufgaben war die Zeit zu knapp ;-( So konnte ich nur 90% überhaupt bearbeiten. Ich denke eine 2 könnte aber drin sein. 
Vielen Dank für die Hilfe!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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