Abstand zur Ebene auf Gerade < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 So 15.07.2007 | | Autor: | Grendel |
| Aufgabe | Die Gerade g sei durch die beiden Pukte P(9|5|4) und Q(2|1|0) bestimmt, die Ebene E durch 2x-2y+z=6.
a) Ermittle die Länge und den Lotfußpunkt des vom Nullpunkt auf die Ebene E gefällten Lotes!
b) Ermittle Schnittpunkt und Größe des Schnittwinkels zwischen der Geraden g und der Ebene E.
c) Ermittle die Punkte auf g, welche von E den Abstand d=4 haben! |
Ich habe dies Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich denke, Aufgabe a) und b) richtig zu haben. Allerdings komme ich mit c) nicht zurecht.
Mein Lösungen:
a)
Länge: -2
Lotfußpunkt: [mm] \vektor{4/3 \\ -4/3 \\ 2/3}
[/mm]
b)
Schnittpunkt: [mm] \vektor{4,8 \\ 2,6 \\ 1,6}
[/mm]
Schnittwinkel: 21,74°
c)
[mm] \vektor{2/3 \\ -2/3 \\ 1/3} [/mm] * [mm] \vec{x} [/mm] - 2 = 0
[mm] \vektor{2/3 \\ -2/3 \\ 1/3} [/mm] * [mm] (\vektor{9 \\ 5 \\ 4} [/mm] + [mm] \lambda\vektor{-7 \\ -4 \\ -4}) [/mm] - 2 = 4
2/3 * [mm] (9-7\lambda) [/mm] - 2/3 * [mm] (5-4\lambda) [/mm] + 1/3 * [mm] (4-4\lambda) [/mm] - 2 = 4
6 - [mm] 14/3\lambda [/mm] - 10/3 + [mm] 8/3\lambda [/mm] + 4/3 - [mm] 4/3\lambda [/mm] - 2 = 4
[mm] 6\lambda [/mm] = 2
[mm] \lambda [/mm] = 1/3
Ich habe die HNF* der Ebene genommen und dort einfach die Geradengleichung eingesetzt und 4 hinter das Gleichzeichen geschrieben, jeweils den Punkt mit dem Abstand 4 auf der Geraden herausbekomme. Seltsam ist nur, dass ich hinterher keine zwei [mm] \lambda [/mm] habe.
Habe ich falsch angesetzt?
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> Die Gerade g sei durch die beiden Pukte P(9|5|4) und
> Q(2|1|0) bestimmt, die Ebene E durch 2x-2y+z=6.
> a) Ermittle die Länge und den Lotfußpunkt des vom
> Nullpunkt auf die Ebene E gefällten Lotes!
> b) Ermittle Schnittpunkt und Größe des Schnittwinkels
> zwischen der Geraden g und der Ebene E.
> c) Ermittle die Punkte auf g, welche von E den Abstand d=4
> haben!
> Ich habe dies Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich denke, Aufgabe a) und b) richtig zu haben. Allerdings
> komme ich mit c) nicht zurecht.
>
> Mein Lösungen:
>
> a)
> Länge: -2
> Lotfußpunkt: [mm]\vektor{4/3 \\ -4/3 \\ 2/3}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b)
> Schnittpunkt: [mm]\vektor{4,8 \\ 2,6 \\ 1,6}[/mm]
> Schnittwinkel:
> 21,74°
>
> c)
> [mm][mm] \vektor{2/3 \\ -2/3 \\ 1/3} [/mm] * [mm] \vec{x} [/mm] - 2 = 0 [mm]
> [mm]\vektor{2/3 \\ -2/3 \\ 1/3} * (\vektor{9 \\ 5 \\ 4} + \lambda\vektor{-7 \\ -4 \\ -4}) - 2 = 4[/mm]
<snip/>
> Ich habe die HNF* der Ebene genommen und dort einfach die
> Geradengleichung eingesetzt und 4 hinter das Gleichzeichen
> geschrieben, jeweils den Punkt mit dem Abstand 4 auf der
> Geraden herausbekomme. Seltsam ist nur, dass ich hinterher
> keine zwei [mm]\lambda[/mm] habe.
>
> Habe ich falsch angesetzt?
Du hättest die Gleichung für die Bestimmung des Parameterwertes der Punkte auf $g$ mit Abstand $4$ von $E$ mit dem Betrag ansetzen sollen, etwa so:
[mm]\red{\left|}\vektor{2/3 \\ -2/3 \\ 1/3}\cdot \left(\vektor{9 \\ 5 \\ 4} + \lambda\vektor{-7 \\ -4 \\ -4}\right) - 2\red{\right|} = 4[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 So 15.07.2007 | | Autor: | Grendel |
Ich glaube mir ist die Funktion dieser Betragsstriche nicht richtig bekannt. Der Betrag einer Zahl ist immer positiv, was sinnvoll ist, wenn man z.B. Abstände berechnet (|-12| = 12). Darüber hinaus kann man sie noch benutzen, um die Länge eines Vektors zu kennzeichnen [mm] (|\vec{a}| [/mm] = 12). Aber wie wirkt sich das hier aus?
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> Ich glaube mir ist die Funktion dieser Betragsstriche nicht
> richtig bekannt. Der Betrag einer Zahl ist immer positiv,
> was sinnvoll ist, wenn man z.B. Abstände berechnet (|-12| =
> 12). Darüber hinaus kann man sie noch benutzen, um die
> Länge eines Vektors zu kennzeichnen [mm](|\vec{a}|[/mm] = 12). Aber
> wie wirkt sich das hier aus?
Wenn $|x|=4$ ist, wie gross ist dann $x$? - Doch $x=4$ oder $x=-4$, nicht? - Und so auch hier:
Du kannst diese eine Gleichung [mm] $|\ldots|=4$ [/mm] mit dem Betrag als ein System von zwei durch eine "oder" Bedingung verbundenen Gleichungen auffassen, denn es ist
[mm]|\ldots|=4\;\Leftrightarrow\; \Big(\ldots = 4 \text{ oder } \ldots = -4\Big)[/mm]
Mit Vorteil vereinfachst Du aber zuerst das in beiden Gleichungen auftretende Argument des Betrages [mm] ($\ldots$) [/mm] soweit wie möglich und gehst erst danach dazu über, die Gleichung [mm] $|\ldots|=4$ [/mm] mit dem Betrag in zwei Gleichungen [mm] "$\ldots [/mm] = 4$ oder [mm] $\ldots [/mm] = -4$" zu zerlegen. Jede dieser Gleichungen gibt Dir eine Lösung und damit erhältst Du die aus anschaulichen Gründen erwarteten zwei Lösungen dieser Teilaufgabe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:11 So 15.07.2007 | | Autor: | Grendel |
Jetzt hab ich 's verstanden ... vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:21 So 15.07.2007 | | Autor: | Somebody |
> Jetzt hab ich 's verstanden ... vielen Dank!
Vielleicht hätte ich noch erklären sollen, weshalb es bei der Berechnung eines Abstandes mit Hilfe der Hesse'schen-Normalform (HNF) zu positiven oder negativen Vorzeichen kommt: ein Punkt, der in demjenigen Halbraum liegt, in den der in der HNF verwendete Normalenvektor der Ebene hineinzeigt, ergibt einen positiven Abstand; ein Punkt jedoch, der im anderen Halbraum liegt, ergibt einen negativen "Abstand". Man erhält aus der HNF also nicht nur den Abstand eines Punktes von der Ebene sondern zusätzlich (im Vorzeichen kodiert) die Information, in welchem der beiden durch die Ebene getrennten Halbräume der betreffende Punkt liegt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Di 17.07.2007 | | Autor: | Grendel |
Ich komme immernoch nicht richtig zurecht. Also folgendes habe ich jetzt gemacht:
[mm] \left|\vektor{\bruch{2}{3} \\ -\bruch{2}{3} \\ \bruch{1}{3}} * \left(\vektor{9 \\ 5 \\ 4} + \lambda\vektor{-7 \\ -4 \\ -4}\right) - 2\right| [/mm] = 4
[mm] \left|\bruch{2}{3} * (9-7\lambda) - \bruch{2}{3} * (5-4\lambda) + \bruch{1}{3} * (4-4\lambda) - 2\right| [/mm] = 4
[mm] \left|\bruch{18}{3} - \bruch{14}{3}\lambda - \bruch{10}{3} - \bruch{8}{3}\lambda + \bruch{4}{3} - \bruch{4}{3}\lambda - 2\right| [/mm] = 4
[mm] \left| 2 - \bruch{26}{3}\lambda\right| [/mm] = 4
Jetzt weiss ich aber nicht, wie man das mit den Betragsstrichen auflöst. Ich habe es so versucht:
[mm] \left|2\right| [/mm] - 4 = [mm] \left|\bruch{26}{3}\lambda\right|
[/mm]
[mm] \bruch{\left|2\right| - 4}{\bruch{26}{3}} [/mm] = [mm] \left|\lambda\right|
[/mm]
Ab jetzt komme ich absolut nicht mehr weiter. Mit meinen Ergebnissen habe ich zur Probe den Abstand berechnet, komme aber nicht auf 4.
[mm] \lambda [/mm] = [mm] -\bruch{3}{13}
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] = [mm] -\bruch{9}{13}
[/mm]
Wie löse ich das richtig auf?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:31 Di 17.07.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ich komme immernoch nicht richtig zurecht. Also folgendes
> habe ich jetzt gemacht:
>
> [mm]\left|\vektor{\bruch{2}{3} \\ -\bruch{2}{3} \\ \bruch{1}{3}} * \left(\vektor{9 \\ 5 \\ 4} + \lambda\vektor{-7 \\ -4 \\ -4}\right) - 2\right|[/mm]
> = 4
>
> [mm]\left|\bruch{2}{3} * (9-7\lambda) - \bruch{2}{3} * (5-4\lambda) + \bruch{1}{3} * (4-4\lambda) - 2\right|[/mm]
> = 4
>
> [mm]\left|\bruch{18}{3} - \bruch{14}{3}\lambda - \bruch{10}{3} - \bruch{8}{3}\lambda + \bruch{4}{3} - \bruch{4}{3}\lambda - 2\right|[/mm]
> = 4
> $ [mm] \left| 2 - \bruch{26}{3}\lambda\right| [/mm] $ = 4
Bis hierher vollkommen korrekt
Aber jetzt gibt es zwei Möglichkeiten, da zwei Zahlen den Betrag 4 haben, nämlich 4 und -4
Also:
[mm] 2-\bruch{26}{3}\lambda=4
[/mm]
Und [mm] 2-\bruch{26}{3}\lambda=-4
[/mm]
Und diese beiden Gleichungen musst du jetzt lösen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Di 17.07.2007 | | Autor: | Grendel |
Ok ... ich habe jetzt die beiden Gleichungen aufgelöst.
[mm] \lambda1 [/mm] = [mm] \bruch{18}{13} [/mm] und [mm] \lambda2 [/mm] = [mm] -\bruch{3}{13}
[/mm]
In die Geradengleichung (g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{9 \\ 5 \\ 4} [/mm] + [mm] \lambda\vektor{-7 \\ -4 \\ -4}) [/mm] eingesetzt ergibt das die beiden Punkte:
P1: [mm] \vektor{-\bruch{9}{13} \\ -\bruch{7}{13} \\ -\bruch{20}{13}} [/mm] und P2: [mm] \vektor{\bruch{138}{13} \\ \bruch{77}{13} \\ \bruch{64}{13}}
[/mm]
Wenn ich jetzt den Abstand der Punkte zum Schnittpunkt berechne, müsste ja eigentlich 4 herauskommen. Also ...
[mm] \vec{SP1} [/mm] = [mm] \vektor{-5,49 \\ -3,14 \\ -3,14}
[/mm]
[mm] \links|\vec{SP1}\rechts| [/mm] = [mm] \wurzel{(-5,49)^2 + (-3,14)^2 + (-3,14)^2} [/mm] = 7,06 [mm] \not= [/mm] 4
[mm] \vec{SP2} [/mm] = [mm] \vektor{5,82 \\ 3,32 \\ 3,32}
[/mm]
[mm] \links|\vec{SP2}\rechts| [/mm] = [mm] \wurzel{(5,82)^2 + (3,32)^2 + (3,32)^2} [/mm] = 7,48 [mm] \not= [/mm] 4
Was habe ich falsch gemacht?
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> Ok ... ich habe jetzt die beiden Gleichungen aufgelöst.
>
> [mm]\lambda1 = \bruch{18}{13}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") sollte [mm] $\lambda_1=\frac{9}{13}$ [/mm] sein.
> und [mm]\lambda2 = -\bruch{3}{13}[/mm]
>
> In die Geradengleichung (g: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{9 \\ 5 \\ 4}[/mm]
> + [mm]\lambda\vektor{-7 \\ -4 \\ -4})[/mm] eingesetzt ergibt das die
> beiden Punkte:
>
> P1: [mm]\vektor{-\bruch{9}{13} \\ -\bruch{7}{13} \\ -\bruch{20}{13}}[/mm]
> und P2: [mm]\vektor{\bruch{138}{13} \\ \bruch{77}{13} \\ \bruch{64}{13}}[/mm]
>
> Wenn ich jetzt den Abstand der Punkte zum Schnittpunkt
> berechne, müsste ja eigentlich 4 herauskommen.
Nein, in der Regel nicht: es sei denn, die Gerade wäre senkrecht zur Ebene. Die beiden Punkte, die Du bestimmt hast, haben ja Abstand $4$ zur Ebene - nicht aber notwendigerweise zum Schnittpunkt von Ebene und Gerade.
Aber gleich gross müsste der Abstand der beiden Punkte zum Schnittpunkt schon sein.
> Also ...
>
> [mm]\vec{SP1}[/mm] = [mm]\vektor{-5,49 \\ -3,14 \\ -3,14}[/mm]
>
> [mm]\links|\vec{SP1}\rechts|[/mm] = [mm]\wurzel{(-5,49)^2 + (-3,14)^2 + (-3,14)^2}[/mm]
> = 7,06 [mm]\not=[/mm] 4
>
> [mm]\vec{SP2}[/mm] = [mm]\vektor{5,82 \\ 3,32 \\ 3,32}[/mm]
>
> [mm]\links|\vec{SP2}\rechts|[/mm] = [mm]\wurzel{(5,82)^2 + (3,32)^2 + (3,32)^2}[/mm]
> = 7,48 [mm]\not=[/mm] 4
>
> Was habe ich falsch gemacht?
Dass Du nicht $4$ erhalten hast ist, wie gesagt, ganz unerheblich. Dass Du aber nicht für beide Punkte den gleichen Abstand zum Schnittpunkt von Gerade und Ebene erhalten hast, deutet schon auf einen Rechenfehler hin (siehe oben).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:35 Di 17.07.2007 | | Autor: | Grendel |
Ok, da hab' ich mich verrechnet. Der Rechenweg ist jetzt jedenfalls klar.
Vielen Dank für die Hilfe!
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