Abstand zw. Ebenen, Spiegelung < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 Sa 29.08.2009 | | Autor: | Nine89 |
| Aufgabe | Gegeben sind die Punkte A (2|3|4), B (3|1|4) und P1 (0|2|11), P2 (-1|5|7), P3 (6|-1|5).
a) Gib eine Parameterdarstellung der durch A und B bestimmten Gerade g an.
b) Gib eine Parameterdarstellung und eine Koordinatengleichung der durch P1,P2, P3 bestimmten Ebene E an.
c.) Zeige dass g parallel zu E verläuft und berechne den Abstand von g zu E.
d.) E* gehe aus E durch achsenspiegelung an g hervort. Gib eine gleichung von E* in Normalenform an
e. Bestimme den Bildpunkt P1* von P1 bei der Spiegelung an g
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zu a) g: x [mm] =\vektor{2 \\ 3 \\ 2} [/mm] + r [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 2} [/mm]
zu b) E1: x [mm] =\vektor{0 \\ 2 \\ 11} [/mm] + r [mm] \vektor{-1 \\ 3 \\ -4} [/mm] + t [mm] \vektor{6 \\ -3 \\ -6} [/mm]
daraus die Koordinatengleichung:
I x = - 1s + 6t
II y = 2 + 3s - 3t | *2
III z = 11 - 4s - 6t
___________________
I +2II x+2y= 4 + 5s (IV)
I + III x + z =11 - 5s (V)
IV + V 2x+ 2y +z = 15
zu c, d, e ) Kann mir bitte jemand versuchen mir zu erklären wie man den Abstand zwischen Ebene und Grade bestimmt, wie ich durch Achsenspiegellung E* bekomme und wie man Bildpunkte bestimmt?
Wäre echt furchtbar nett wenn mir jemand helfen könnte.
Viele Liebe Grüße und Danke im vorraus
Nine
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Nine,
> Gegeben sind die Punkte A (2|3|4), B (3|1|4)
Da ist wohl ein Schreibfehler. Andernfalls ist
die unten angegebene Geradengleichung falsch.
> und P1(0|2|11), P2 (-1|5|7), P3 (6|-1|5).
>
> a) Gib eine Parameterdarstellung der durch A und B
> bestimmten Gerade g an.
> b) Gib eine Parameterdarstellung und eine
> Koordinatengleichung der durch P1,P2, P3 bestimmten Ebene E
> an.
> c.) Zeige dass g parallel zu E verläuft und berechne den
> Abstand von g zu E.
> d.) E* gehe aus E durch Achsenspiegelung an g hervor.
> Gib eine Gleichung von E* in Normalenform an
> e. Bestimme den Bildpunkt P1* von P1 bei der Spiegelung an g
>
>
> zu a) g: x [mm]=\vektor{2 \\ 3 \\ 2}+r*\vektor{1 \\ -2 \\ 2}[/mm]
>
> zu b) E: x [mm]=\vektor{0 \\ 2 \\ 11}+r*\vektor{-1 \\ 3 \\ -4}+t*\vektor{6 \\ -3 \\ -6}[/mm]
>
> daraus die Koordinatengleichung:
>
> I x = - 1s + 6t
> II y = 2 + 3s - 3t | *2
> III z = 11 - 4s - 6t
> ___________________
> I +2II x+2y= 4 + 5s (IV)
> I + III x + z =11 - 5s (V)
>
> IV + V 2x+ 2y +z = 15
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") richtig, denn P1, P2, P3 erfüllen diese Gleichung
> zu c, d, e ) Kann mir bitte jemand versuchen mir zu
> erklären wie man den Abstand zwischen Ebene und Grade
> bestimmt, wie ich durch Achsenspiegelung E* bekomme und
> wie man Bildpunkte bestimmt?
c) Weißt du, wie du auf einfachste Art zeigen kannst,
dass g parallel zu E ist ?
Den Abstand berechnest du dann, indem du z.B. den
Abstand des Punktes A von E berechnest. Da ich nicht
genau weiß, welche Mittel dir dazu zur Verfügung
stehen, nur zwei Stichworte: Lotgerade, Hesse (?)
d) Überleg dir zuerst geometrisch, wie die Ebenen E und E*
und die Gerade g im Raum relativ zueinander liegen.
Wenn dir dies klar ist, bestimme zuerst einmal
einen ersten Punkt von E*.
e) Für diese Spiegelung kannst du die Ebenen E und E*
zwischendurch mal "vergessen". Sie hat ja direkt nur
mit P1 und g zu tun ...
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Sa 29.08.2009 | | Autor: | Nine89 |
hmm also von Lotgerade hab ich gehört... weis aber nicht genau wie das funktioniert... und leider helfen mir deine restlichen Tipps nicht wirklich weiter.
Einen Punkt der Ebene? Also meinst du P1,P2 oder P3?
Ich bin ne Totale Mathenull undkann mir sowas wie vektoren schlecht Vorstellen.
Trotzdem Vielen Dank für den Versuch mir zu helfen
Lieben Grüß
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> hmm also von Lotgerade hab ich gehört... weis aber nicht
> genau wie das funktioniert... und leider helfen mir deine
> restlichen Tipps nicht wirklich weiter.
>
> Einen Punkt der Ebene? Also meinst du P1,P2 oder P3?
>
> Ich bin ne Totale Mathenull und kann mir sowas wie Vektoren
> schlecht vorstellen.
>
> Trotzdem vielen Dank für den Versuch mir zu helfen
>
> Lieben Gruß
Na, da geben wir aber doch nicht gleich auf !
c) Um zu zeigen, dass die Gerade parallel zur
Ebene ist, kannst du
entweder: Zeigen, dass g keinen Punkt P(x/y/z)
enthält, der auch die Ebenengleichung von E
erfüllt. Nimm also den Punkt P(x=2+r/y=3-2r/z=2+2r)
von g und setze seine x-Koordinaten (mittels r
ausgedrückt) in die Gleichung 2x+2y+z=15 der
Ebene E ein. Was stellst du fest ?
oder: Mittels Skalarprodukt nachweisen, dass
der Richtungsvektor der Geraden mit dem Normalen-
vektor der Ebene einen rechten Winkel bildet.
d) Die Ebenen E und E* sind zueinander parallel.
Die Gerade g liegt wie im Sandwich in der Mittel-
parallelebene zwischen E und E*.
Mach dir dies mit einem einfachen Modell klar:
E und E*: zwei Pappstücke. g: eine Stricknadel.
Wenn du von einem beliebigen Punkt in E (z.B. P1)
ausgehst, von da aus zu einem beliebigen Punkt
auf g (z.B. A) und dann von da aus noch um ein
gleichgroßes geradliniges Stück weiter gehst,
kommst du zu einem Punkt der Ebene E*.
Dieser Vorgang lässt sich mittels Vektoren ganz
einfach darstellen.
Vergiss deine Selbsteinschätzung als "Mathenull"
und versuch's einfach. Es ist einfacher als du denkst.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Sa 29.08.2009 | | Autor: | Nine89 |
Gut am besten ist es doch aber wenn ich den Abstand schon weis zum spiegeln in Aufgabe d)... also mal Schritt für schritt
okey also wenn ich das skalarprodukt bilden will muss ich ja
[mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 1} [/mm] * [mm] \vektor{-1 \\ 3 \\ -4}
[/mm]
________________________
[mm] \wurzel{2^{2} +2^{2} +1^{2}} [/mm] * [mm] \wurzel{-1^{2}+ 3^{2}+(-4^{2})}
[/mm]
rechnen. Da komme ich auf 0 und cer cosinus von 0 ist 90°. Richtig?
und damit habe ich jetztwas nachgewiesen? Das das lot welches ich anlege im 90° zur Ebene steht. Aber wie berechne ich damit die länge des Lots?
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> Gut am besten ist es doch aber wenn ich den Abstand schon
> weis zum spiegeln in Aufgabe d)... also mal Schritt für
> schritt
>
> okey also wenn ich das skalarprodukt bilden will muss ich ja
>
> [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ 1}[/mm] * [mm]\vektor{-1 \\ 3 \\ -4}[/mm]
Der erste Vektor in diesem Produkt ist der Normalenvektor
der Ebene E, der zweite der Vektor [mm] \overrightarrow{P_1P_2}. [/mm]
Dass dieses Skalarprodukt nun Null ergibt ist klar, da
P1 und P2 in E liegen. Dies hat aber nichts mit der Spiegelung
von E an g zu tun, die eigentlich zu betrachten wäre.
LG
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Hallo Nine89 und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
du bist ja schon weit gekommen mit deinen Bemühungen,
aber vielleicht/sicher kennst du noch nicht unsere  MatheBank, in der du insbesondere im SchulMatheLexikon viele wichtige Definitionen und Verfahren nachlesen kannst.
Für diese Aufgabenstellung findest du unter SchulMatheFAQ: AbstandsberechnungenR3
> Gegeben sind die Punkte A (2|3|4), B (3|1|4) und P1
> (0|2|11), P2 (-1|5|7), P3 (6|-1|5).
>
> a) Gib eine Parameterdarstellung der durch A und B
> bestimmten Gerade g an.
> b) Gib eine Parameterdarstellung und eine
> Koordinatengleichung der durch P1,P2, P3 bestimmten Ebene E
> an.
> c.) Zeige dass g parallel zu E verläuft und berechne den
> Abstand von g zu E.
> d.) E* gehe aus E durch achsenspiegelung an g hervort. Gib
> eine gleichung von E* in Normalenform an
> e. Bestimme den Bildpunkt P1* von P1 bei der Spiegelung an
> g
>
>
> zu a) g: x [mm]=\vektor{2 \\ 3 \\ 2}[/mm] + r [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ 2}[/mm]
>
> zu b) E1: x [mm]=\vektor{0 \\ 2 \\ 11}[/mm] + r [mm]\vektor{-1 \\ 3 \\ -4}[/mm]
> + t [mm]\vektor{6 \\ -3 \\ -6}[/mm]
>
> daraus die Koordinatengleichung:
>
> I x = - 1s + 6t
> II y = 2 + 3s - 3t | *2
> III z = 11 - 4s - 6t
> ___________________
> I +2II x+2y= 4 + 5s (IV)
> I + III x + z =11 - 5s (V)
>
> IV + V 2x+ 2y +z = 15
>
> zu c, d, e ) Kann mir bitte jemand versuchen mir zu
> erklären wie man den Abstand zwischen Ebene und Grade
> bestimmt, wie ich durch Achsenspiegellung E* bekomme und
> wie man Bildpunkte bestimmt?
>
> Wäre echt furchtbar nett wenn mir jemand helfen könnte.
>
> Viele Liebe Grüße und Danke im vorraus
> Nine
>
Ich hoffe, ich konnte dir helfen.
Gruß informix
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