Abstand zweier Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] E_{1}=2x_{1}+x_{2}=5
[/mm]
[mm] E_{2}=4x_{1}+2x_{2}=3 [/mm] |
Hallo Zusammen ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") ,
Ich muss den Abstand bestimmen. Die ersten Schritte habe ich eigentlich hinbekommen, dann habe ich jedoch Probleme bekommen:
Ich bestimme einen Punkt für [mm] E_{1}: [/mm] P(2/1/0)
Den Normalenvektor lese ich an den Faktoren von [mm] E_{1} [/mm] ab: N(2/1/0)
Dann habe ich die Gerade
[mm] g:\vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda\vektor{2 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=\vektor{2 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda\vektor{2 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
=>
[mm] x_{1}=2+2\lambda
[/mm]
[mm] x_{2}=1+\lambda
[/mm]
[mm] x_{3}=0
[/mm]
=> in K-F von [mm] E_{1} [/mm] eingesetzt:
[mm] 4*(2+2\lambda)+2*(1+\lambda)=3
[/mm]
= [mm] 8+8\lambda+2+2\lambda=3
[/mm]
=> [mm] \lambda=-0,7
[/mm]
==> in g eingesetzt:
[mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 0} -0,7*\vektor{2 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] =\vektor{0,6 \\ 0,3 \\ 0} [/mm]
S(0,6 / 0,3 / 0)
Jetzt muss ich ja die Länge von [mm] \vec{PS} [/mm] ausrechnen, und da kommen meine Probleme:
[mm] \wurzel{0,6^{2}+0,3^{2}} [/mm] - [mm] \wurzel{1,4^{2}+0,7^{2}}
[/mm]
Eigentlich wären die Zahlen unter der zweiten Wurzel ja negativ. Da das ja verboten ist habe ich die Zahlen positiv gemacht. Ich weiß nicht, ob das erlaubt ist...
Liebe Grüße,
Sarah 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 Mi 28.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sarah!
Du musst schon zunächst den Vektor [mm] $\overrightarrow{PS}$ [/mm] ausrechnen und dessen Betrag berechnen:
[mm] $$\overrightarrow{PS} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{2\\1\\0}-\vektor{0.6\\0.3\\0} [/mm] \ = \ ...$$
Beide Ebenen sind parallel (da die Normalenvektoren kollinear sind). Du hättest hier auch beide Ebenen in die HESSE'sche Normalform umwandeln können und anschliend die beiden Abstände zum Nullpunkt ablesen können.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 Do 29.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Sarah
> Hallo Loddar ,
>
> Heißt das, dass wenn die Ebenen parallel sind, ich mir
> diesem Kram mit den Wurzeln sparen kann?
>
> Was heißt kolinear?
Kolinear heisst nicht anderes als Parallel.
Und wenn die Normalenvektoren zweier Ebenen parallel sind, sind die Ebenen ebenfalls parallel.
Bei nicht parallelen Ebenen hast du ja automatisch eine Schnittgerade, also wäre der Abstand 0.
Die Hilfsgerade zu konstruieren ist korrekt,
Ich nehme mal deine Werte für P(2/1/0) und S(0,6/0,3/0)
dann ist [mm] \overrightarrow{PS}=\vektor{-1,4\\-0,7\\0}
[/mm]
Und die Länge dieses Vektors
[mm] |\overrightarrow{PS}|=\wurzel{(-1,4)²+(-0,7)²+0²}=\wurzel{2,45}\approx1,56
[/mm]
>
> Ich verstehe das noch nicht so ganz. Ich rechne mal deine
> Ausführungen weiter:
>
> [mm]\vektor{1,4 \\ 0,7 \\ 0}[/mm]
>
> Und dann?
>
> > Beide Ebenen sind parallel (da die Normalenvektoren
> > kollinear sind). Du hättest hier auch beide Ebenen in die
> > HESSE'sche Normalform umwandeln können und anschliend die
> > beiden Abstände zum Nullpunkt ablesen können.
>
> Nö, hätte ich nicht Ich kenne diese Formel gar nicht.
>
Die Hessesche Normalenform ist diejenige Normalenform, deren Normalenvektor die Länge 1 hat.
Hast du eine Normalenform [mm] E:\vec{n}*\vec{x}=d [/mm] ist die dazugeörige Hessesche NF wie folgt zu berechnen.
[mm] E:\bruch{\vec{n}}{|\vec{n}|}*\vec{x}=\bruch{d}{|\vec{n}|}
[/mm]
Du teilst also jeweils durch die Länge des (beliebigen) Normalenvektors.
Diese Ebene hat einige rechnerische Vorteile in der Abstandsbestimmung.
>
> Liebe Grüße,
>
> Sarah
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Do 29.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Wie Du die Länge von PS ausgerechnet hast , ist mir nicht klar.
Mach das mal vor
FRED
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