Abstand zweier Ebenen < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Zusammen ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") ,
Ich bin gerade in der letzen Phase - am Freitag wird die Klausur geschrieben.
Wenn ich den Abstand zweier Ebenen ausrechne, wie geht man dann am besten vor?
Ich würde sagen, dass man als erstes die Parallelität überprüfen muss, da wenn sich die Ebenen schneiden sollten, der Abstand automatisch = 0 wird.
Wie überprüft man nochmal, ob die Ebenen parallel sind? Das hatte ja was mit der linearen Abhängigkeit (?) zu tun. Wenn ich mich nicht irre. Aber wie das so genau funktioniert weiß ich nicht mehr...
Und dann brauche ich die Normalenvektoren der beidenen Ebenen, oder?
Liebe Grüße,
Sarah 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:40 Mo 20.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo Zusammen ,
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> Ich bin gerade in der letzen Phase - am Freitag wird die
> Klausur geschrieben.
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> Wenn ich den Abstand zweier Ebenen ausrechne, wie geht man
> dann am besten vor?
>
> Ich würde sagen, dass man als erstes die Parallelität
> überprüfen muss, da wenn sich die Ebenen schneiden sollten,
> der Abstand automatisch = 0 wird.
Korrekt
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> Wie überprüft man nochmal, ob die Ebenen parallel sind? Das
> hatte ja was mit der linearen Abhängigkeit (?) zu tun. Wenn
> ich mich nicht irre. Aber wie das so genau funktioniert
> weiß ich nicht mehr...
Wenn die Normalenvektoren de Ebenen E und F parallel sind, sind es die Ebenen selber auch (Evtl sind sie sogar identisch)
>
> Und dann brauche ich die Normalenvektoren der beidenen
> Ebenen, oder?
Nicht ganz. Der Eleganteste Weg ist, eine Hilfsgerade h zu konstruieren, die als Stützpunkt einen Punkt von F (Nimm den Stützpunkt) hat, und als Richtungsvektor den von E
Also: [mm] h:\vec{x}=\vec{p_{F}}+\lambda*\vec{n_{E}}
[/mm]
Und den Schnittpunkt S dieser Gerade und der Ebene E suchst du jetzt mal.
(h in die Normalenform von E einsetzen, die entstehnde Gleichung nach [mm] \lambda [/mm] auflösen, dieses wieder in h einsetzen und damit dann S bestimmen)
Die Länge des Vektors [mm] \overrightarrow{P_{F}S} [/mm] ist dann der gesuchte Ebenenabstand.
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> Liebe Grüße,
>
> Sarah
Marius
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Hallo Marius ,
Danke für deine Antwort, jedoch stellen sich mir noch ein paar Fragen:
> > Wie überprüft man nochmal, ob die Ebenen parallel sind? Das
> > hatte ja was mit der linearen Abhängigkeit (?) zu tun. Wenn
> > ich mich nicht irre. Aber wie das so genau funktioniert
> > weiß ich nicht mehr...
>
> Wenn die Normalenvektoren de Ebenen E und F parallel sind,
> sind es die Ebenen selber auch (Evtl sind sie sogar
> identisch)
Genau. Aber die Parallelität muss ich ja erst einmal beweisen (rechnerisch). Und das hatte doch was mit der linearen Abhängigkeit zu tun?!
> > Und dann brauche ich die Normalenvektoren der beidenen
> > Ebenen, oder?
>
> Nicht ganz. Der Eleganteste Weg ist, eine Hilfsgerade h zu
> konstruieren, die als Stützpunkt einen Punkt von F (Nimm
> den Stützpunkt) hat, und als Richtungsvektor den von E
> Also: [mm]h:\vec{x}=\vec{p_{F}}+\lambda*\vec{n_{E}}[/mm]
Mhhmmm... Stimmt. Das hatten wir auch an einem Beispiel mal gemacht.
Was wäre denn ein uneleganter Weg?
> Und den Schnittpunkt S dieser Gerade und der Ebene E suchst
> du jetzt mal.
> (h in die Normalenform von E einsetzen, die entstehnde
> Gleichung nach [mm]\lambda[/mm] auflösen, dieses wieder in h
> einsetzen und damit dann S bestimmen)
> Die Länge des Vektors [mm]\overrightarrow{P_{F}S}[/mm] ist dann der
> gesuchte Ebenenabstand.
Okay. Ich suche mal nach einer geeigneten Aufgabe und rechne das dann mal durch.
Nochmal Danke für deine Hilfe!
Liebe Grüße,
Sarah
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 Mo 20.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo Marius ,
Hallo Sarah
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> Danke für deine Antwort, jedoch stellen sich mir noch ein
> paar Fragen:
>
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> > > Wie überprüft man nochmal, ob die Ebenen parallel sind? Das
> > > hatte ja was mit der linearen Abhängigkeit (?) zu tun. Wenn
> > > ich mich nicht irre. Aber wie das so genau funktioniert
> > > weiß ich nicht mehr...
> >
> > Wenn die Normalenvektoren de Ebenen E und F parallel sind,
> > sind es die Ebenen selber auch (Evtl sind sie sogar
> > identisch)
>
> Genau. Aber die Parallelität muss ich ja erst einmal
> beweisen (rechnerisch). Und das hatte doch was mit der
> linearen Abhängigkeit zu tun?!
Wenn [mm] \vec{n_{E}}\parallel\vec{n_{F}} [/mm] so gibt es ein [mm] k\in\IR [/mm] so dass [mm] \vec{n_{E}}=k*\vec{n_{F}}
[/mm]
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> > > Und dann brauche ich die Normalenvektoren der beidenen
> > > Ebenen, oder?
> >
> > Nicht ganz. Der Eleganteste Weg ist, eine Hilfsgerade h zu
> > konstruieren, die als Stützpunkt einen Punkt von F (Nimm
> > den Stützpunkt) hat, und als Richtungsvektor den von E
> > Also: [mm]h:\vec{x}=\vec{p_{F}}+\lambda*\vec{n_{E}}[/mm]
>
> Mhhmmm... Stimmt. Das hatten wir auch an einem Beispiel mal
> gemacht.
>
> Was wäre denn ein uneleganter Weg?
Es gibt eine Abstandsformel, die ich mir aber einfach nicht merken kann. Der Weg über diese Gerade h ist halt sehr anschaulich, und man braucht sich nur die Konstruktion dieser Gerade zu merken (und warum gerade diese Gerade).
>
> > Und den Schnittpunkt S dieser Gerade und der Ebene E suchst
> > du jetzt mal.
> > (h in die Normalenform von E einsetzen, die entstehnde
> > Gleichung nach [mm]\lambda[/mm] auflösen, dieses wieder in h
> > einsetzen und damit dann S bestimmen)
> > Die Länge des Vektors [mm]\overrightarrow{P_{F}S}[/mm] ist dann
> der
> > gesuchte Ebenenabstand.
>
> Okay. Ich suche mal nach einer geeigneten Aufgabe und
> rechne das dann mal durch.
>
>
> Nochmal Danke für deine Hilfe!
Bitte, dafür sind wir ja da 
>
>
> Liebe Grüße,
>
> Sarah
Marius
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Hallo Marius ,
Hast du für mich eine nicht zu leichte, eine aber auch nicht zu schwere Beispielaufgabe? Bei mir im Buch wird darauf gar nicht eingegangen.
Liebe Grüße,
Sarah
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 Mo 20.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
So aus dem Kopf erstellt:
[mm] E:\vektor{2\\1\\0}*\vektor{x\\y\\z}=12
[/mm]
[mm] F:\vektor{4\\2\\0}*\vektor{x\\y\\z}=-10
[/mm]
Marius
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Hallo Marius ,
> [mm]E:\vektor{2\\1\\0}*\vektor{x\\y\\z}=12[/mm]
> [mm]F:\vektor{4\\2\\0}*\vektor{x\\y\\z}=-10[/mm]
Sind das wirklich Ebenen? Wo sind die 2 Parameter und wo sind die Ortsvektoren?
Ich verstehe gerade die Form der Ebenen nicht.
Liebe Grüße,
Sarah
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Mo 20.10.2008 | | Autor: | MarkusF |
Wenn du die Vektoren ausmultiplizierst, erhältst du die Ebenengleichungen in Koordinatenform:
[mm] E: 2x + 1y + 0z = 12 [/mm]
und
[mm] F: 4x + 2y + 0z = -10 [/mm]
Viele Grüße,
Markus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Mi 22.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das sind Ebenen in Normalenform.
Ihr habt die wahrscheinlich in der Form geschriebe:
[mm] E:[\vec{x}-\vec{p}]*\vec{n}=0
[/mm]
Das kann man aber umschreiben zu:
[mm] [\vec{x}-\vec{p}]*\vec{n}=0
[/mm]
[mm] \gdw \vec{x}*\vec{n}-\vec{p}*\vec{n}=0
[/mm]
[mm] \gdw \vec{n}*\vec{x}=\underbrace{\vec{p}*\vec{n}}_{:=d}
[/mm]
[mm] \gdw \vec{n}*\vec{x}=d
[/mm]
Und das ist die Form, die ich hingeschrieben habe.
Marius
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Hallo Zusammen ,
Ich habe mir folgendes Verfahren "ausgedacht", ich hoffe, man kann er verstehen:
Ich habe zwei Ebenen gegeben, in Parameterform.
Ich wandle beide Ebenen in die Koordinatenform um.
Dann stelle ich eine Gerade auf, indem ich den Ortsvektor den Ortsvektor von Ebene 1 nehme.
Den Richtigungsvektor der Gerade ist = dem 1. Richtungsvektor der Ebene 2.
Dann schreibe ich die Gerade in
[mm] x_{1}=...
[/mm]
[mm] x_{2}=...
[/mm]
[mm] x_{3}=... [/mm] aus.
Diese Ergebnisse setze ich in die Koordinatenform der Ebene 1 ein.
Das ausgerechnete t setze ich dann wieder in die Gerade ein. Ich erhalte meinen ersten Schnittpunkt.
- Ich hoffe, soweit war es verständlich -
Dann habe ich ja den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene 1.
Um den Abstand aber berechnen zu können, fehlt mir ja noch ein Punkt.
Ich hatte mir jetzt gedacht, dass ich das gleiche nochmal mache, um den Schnittpunkt mit der Ebene 2 zu erhalten.
Dann habe ich ja die zwei Schnittpunkte, [mm] S_{1} [/mm] und [mm] S_{2}.
[/mm]
Damit kann man dan ja den Abstand berechnen.
Sorry, wenn das so theoretisch ist, aber ich habe mir das so ausgedacht und nicht anhand einer Aufgabe gemacht...
Liebe Grüße,
Sarah
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Mo 20.10.2008 | | Autor: | MarkusF |
Um den Abstand zweier Ebenen zu bestimmen, müssen diese parallel sein; wenn sie sich schneiden, ist der Abstand = 0.
Sind die Ebenen nun aber parallel, sind auch deren Richtungsvektoren parallel. Wenn du nun für deine erste Gerade den Stützvektor von E1 nimmst und den Richtungsvektor von E2, dann liegt diese Gerade in E1 und du erhältst keinen einzelnen Schnittpunkt.
Aus der Koordinatenform kannst du allerdings den Normalenvektor von E1 ablesen. Dann "konstruierst" du eine Gerade mit dem Stützvektor von E1 und dem Normalenvektor von E1 als Richtungsvektor und bestimmst deren Schnittpunkt S mit E2. Der Abstand beider Ebenen entspricht nun dem Abstand zwischen S und dem Aufpunkt von E1.
Viele Grüße,
Markus
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
AbstandsberechnungenR3