Abstand zweier Geraden < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | in einem kartesischen koordinatensystem sind die Punkte Q(4/2/4),
R(-1/7/-1) und Pk(k/1-k/2-2k) gegeben. die Punkte Q und R bestimmen die Gerade g , die Punkte PK liegen auf der Gerade h. Zeigen Sie dass die Gerade g nicht parallel zur Gerade h verläuft, und berechnen sie den Abstand der Geraden g und h |
Das die Geraden nicht parallel sind sehe ich durch Richtungsvektoren, aber den Abstand bekomme ich nicht gebacken. Die Form der Hilfsebene wäre als Lösung angegeben . Ergebnis: 3,54 LE Abstand.
Ich habe aber folgenden Weg benutzt, ist dieser überhaupt möglich
Abstand eines Punktes zu einer Geraden:
Vektor QP skalar multipliziert mit Richtungsvektor h ist Null:
Vektor QP: k-4 skalar multipl mit rh: 1 ist null
-1-k -1
-2-2k -2
ergibt ein k = -1/6
dieses in QP eingesetzt ergibt neuen Vektor -25/6
5/6
5/3
diesen Vektor bilde ich den Betrag um Länge zu bestimmen : 4,56 LE
Was habe ich falsch gemacht. Wäre diese Lösung nicht auch richtig neben der Hilfsebenengeschichte? Wenn jemand darauf eine Lösung hätte wäre ich ihm sehr dankbar
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Marlenemaus!
Ersteinmal vor im Namen aller Forenmitglieder ein herzliches ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> in einem kartesischen koordinatensystem sind die Punkte
> Q(4/2/4),
> R(-1/7/-1) und Pk(k/1-k/2-2k) gegeben. die Punkte Q und R
> bestimmen die Gerade g , die Punkte PK liegen auf der
> Gerade h. Zeigen Sie dass die Gerade g nicht parallel zur
> Gerade h verläuft, und berechnen sie den Abstand der
> Geraden g und h
> Das die Geraden nicht parallel sind sehe ich durch
> Richtungsvektoren, aber den Abstand bekomme ich nicht
> gebacken. Die Form der Hilfsebene wäre als Lösung angegeben
> . Ergebnis: 3,54 LE Abstand.
> Ich habe aber folgenden Weg benutzt, ist dieser überhaupt
> möglich
> Abstand eines Punktes zu einer Geraden:
> Vektor QP skalar multipliziert mit Richtungsvektor h ist
> Null:
>
> Vektor QP: k-4 skalar multipl mit rh: 1 ist
> null
> -1-k
> -1
> -2-2k
> -2
>
> ergibt ein k = -1/6
> dieses in QP eingesetzt ergibt neuen Vektor -25/6
>
> 5/6
>
> 5/3
> diesen Vektor bilde ich den Betrag um Länge zu bestimmen :
> 4,56 LE
> Was habe ich falsch gemacht. Wäre diese Lösung nicht auch
> richtig neben der Hilfsebenengeschichte? Wenn jemand darauf
> eine Lösung hätte wäre ich ihm sehr dankbar
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Deine Methode sieht auf den ersten Blick einleuchtend aus, ist es aber bei genauerem Hinsehen eher weniger. dadurch, dass der Punkt P des Vektors [mm] \overrightarrow{QP} [/mm] ja fest ist, hast du mit deiner Berechnung den minimalen Abstand des Punktes P von der Punkteschar [mm] P_{k} [/mm] ermittelt. Das ist aber nicht der Abstand der beiden Geraden voneinander.
Generell geht man bei der Abstandsbestimmung zweier windschiefer Gerade wie folgt vor:
1. Hilfsebene erstellen:
Die Hilfsebene muss eine der beiden Geraden enthalten und gleichzeitig parallel zur anderen Geraden verlaufen. Eine Ebene welche aus der gessamten einen Geraden und dem Richtungsvektor der zweiten Geraden besteht erfüllt genau diese Bedingungen:
[mm] E:\overrightarrow{x}=\underbrace{\vektor{4 \\ 2 \\ 4}+r\vektor{1 \\ -1 \\ 1}}_{Gerade-durch-Q-und-R}+\underbrace{k\vektor{1 \\ -1 \\ -2}}_{Richtungsvektor-der-Punkteschar-P_{k}}
[/mm]
2. Erstellen der Hess'schen Normalenform der Hilfsebene:
[mm] E:[\overrightarrow{x}-\vektor{4 \\ 2 \\ 4}]*\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1 \\ 1 \\ 0}=d
[/mm]
3. Bestimmung des Abstandes des Stützvektors der zweiten Gerade von der Ebene (=Abstand beider Geraden):
[mm] |[\vektor{0 \\ 1 \\ 2}-\vektor{4 \\ 2 \\ 4}]*\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1 \\ 1 \\ 0}|=d
[/mm]
Löst man das nun auf erhält man letztendlich:
[mm] d=|\bruch{-5}{\wurzel{2}}|=3,5355\approx3,53LE
[/mm]
Das wars schon. Wenn noch fragen sind: her damit! 
Gruß,
Tommy
|
|
|
| |
|
Hallo Tommy,
vielen Dank für die schnelle und genaue Lösung.
Noch eine Frage: wir haben die Hessesche Form noch nicht gemacht. Ich könnte ja auch die Hilfsebene mit Kreuzmultiplikation in die Normalenform bringen, dann habe ich auch den Normalenvektor der Hilfsebene, aber wie komme ich dann zum Abstand. Gibts da noch eine weitere Lösung. (Ich habe die Aufgabe aus dem Abibuch 1999, viell. ist das gar nicht mehr Stoff für Abi 2007). Könnte man mit Lotgerade von g auf Hilfsebene den Schnittpunkt bestimmen und dann Abstand Q-Lotpunkt bestimmen?
|
|
|
| |
|
> Hallo Tommy,
> vielen Dank für die schnelle und genaue Lösung.
> Noch eine Frage: wir haben die Hessesche Form noch nicht
> gemacht. Ich könnte ja auch die Hilfsebene mit
> Kreuzmultiplikation in die Normalenform bringen, dann habe
> ich auch den Normalenvektor der Hilfsebene, aber wie komme
> ich dann zum Abstand.
Wenn du den Normalenvektor der Hilfebene ermittelt hast, dann könnstest du dir eine Gerade konstruieren, die senkrecht auf der Ebene steht und gleichzeitig durch den Stürtzvektor der anderen Geraden geht (sprich: Die Lotgerade hat den selben Stützvektor, wie die Gerade, die du nicht in der Hilfsebene verbaut hast und sie hat als Richtungsvektor den Normalenvektor der Hilfsebene). Dann kannst du den Schnittpunkt (z.B. Punkt F) von Hilfsebene und Lotgerade ermitteln. Letzendlich spannst du dir noch einen Vektor zwischen dem Stützvektor der Lotgeraden und dem gerade ermittelten Punkt F und bestimmst dessen Betrag. Der Betrag dieses Vektors entspricht dem Abstand der beiden ursprünglichen Geraden.
Du siehst, der Ansatz ist zwar ein wenig umständlich, führt aber auch zum Ziel.
Gruß,
Tommy
|
|
|
| |
|
Hallo Tommy,
ich glaube ich habe das Problem verstanden. Vielen Dank für die Hilfe.
Ich werde die Aufgabe morgen nochmal in aller Frische durchprobieren und ich denke es kappt.
Viele Grüße
Marlenemaus
|
|
|
|
