Abstand zweier Geraden < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:47 Sa 07.02.2009 | | Autor: | evils |
| Aufgabe | [mm] g:\vec{X}=\vektor{2 \\ 5 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda\vektor{2 \\ -2 \\ 1}, h:\vec{X}=\vektor{5 \\ 3 \\ 3} [/mm] + [mm] \mu\vektor{1 \\ -1 \\ 0,5}
[/mm]
Berechne d(g,h). |
Ich hab diese Aufgabe mal gerechnet bin mir aber nicht sicher, ob das Ergebnis so stimmt.
zuerst rechnet man den allgemeinen Punkt der Gerade g aus:
[mm] \vec{X_{\lambda}}= \vektor{2 + 2\lambda \\ 5 - 2\lambda \\ 1 +1\lambda}
[/mm]
dann braucht man einen beliebigen Punkt von der anderen Gerade also h:
[mm] P=\vektor{5 \\ 3 \\ 3}
[/mm]
nun rechnet man den Vektor von dem allgemeinen Punkt der Gerade g zum Punkt P aus:
[mm] \vec{X_{\lambda}P}= \vec{P}- \vec{X_{\lambda}} [/mm] = [mm] \vektor{5 - 2 - 2\lambda \\3 - 5 + 2\lambda \\ 3 - 1 -1\lambda} [/mm] = [mm] \vektor{3 - 2\lambda \\-2 + 2\lambda \\ 2 -1\lambda}
[/mm]
jetzt skalar multipliziert man [mm] \vec{X_{\lambda}P} [/mm] mit dem Richtungsvektor von [mm] \lambda [/mm] welche zusammen 0 ergeben müssen, da der Winkel von cos = 90°sein muss damit ein Lot gefällt wird - und diese 90° hat cos bei 0!
[mm] \vec{X_{\lambda}P}\circ\vec{\lambda}= [/mm] 0
=> [mm] (3-2\lambda)2+(-2+2\lambda)(-2)+(2-1\lambda)1= [/mm] 0
=> [mm] 6-4\lambda+4-4\lambda+2-1\lambda [/mm] = 0
=> 12 - [mm] 9\lambda=0
[/mm]
=> [mm] \lambda [/mm] = - [mm] \bruch{4}{3}
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] setzt man nun in [mm] \vec{X_{\lambda}P} [/mm] ein:
[mm] \vec{X_{\lambda}P}= \vektor{3 - 2(-\bruch{4}{3}) \\-2 + 2(-\bruch{4}{3}) \\ 2 -1(-\bruch{4}{3})} [/mm] = [mm] \vektor{5\bruch{2}{3}\\-4\bruch{2}{3}\\ 3\bruch{1}{3}}=\bruch{1}{3}\vektor{ 17\\ -14\\ 10}
[/mm]
[mm] \vec{X_{\lambda}P} [/mm] = [mm] \vec{FP} [/mm] wobei F der Lotpunkt auf der Geraden g ist!
Jetzt rechnet man den Einheitsvektor von [mm] \vec{X_{\lambda}P} [/mm] aus:
[mm] |\vec{X_{\lambda}P}|= \wurzel{ 17^2 - 14^2 + 10^2} [/mm] = [mm] \wurzel{585} [/mm] = 24,18
d(P,g) = 24,18
Um den Lotpunkt F zu erhalten muss man [mm] \lambda [/mm] in g einsetzten:
[mm] \vec{X_{\lambda}}= \vektor{2 + 2(-\bruch{4}{3}) \\ 5 - 2(-\bruch{4}{3}) \\ 1 +1(-\bruch{4}{3})}= \vektor{-\bruch{2}{3} \\ 7\bruch{2}{3}) \\ -\bruch{1}{3})} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}\vektor{-2\\ 23 \\ -1} [/mm] = F
Ich habe zwar das Gefühl, dass es richtig sein könnte, aber die Ergebnisse machen mich unsicher. Falls mir jemand seine Meinung dazu sagen könnte wäre ich total dankbar! :)
Danke schonmal im vorraus!
Lg
Susi
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> [mm]g:\vec{X}=\vektor{2 \\ 5 \\ 1}+\lambda\vektor{2 \\ -2 \\ 1},\ h:\vec{X}=\vektor{5 \\ 3 \\ 3}+\mu\vektor{1 \\ -1 \\ 0,5}[/mm]
> Berechne d(g,h).
> zuerst rechnet man den allgemeinen Punkt der Gerade g aus:
> [mm]\vec{X_{\lambda}}= \vektor{2 + 2\lambda \\ 5 - 2\lambda \\ 1 +1\lambda}[/mm]
>
> dann braucht man einen beliebigen Punkt von der anderen
> Gerade also h:
> [mm]P=\vektor{5 \\ 3 \\ 3}[/mm]
>
> nun rechnet man den Vektor von dem allgemeinen Punkt der
> Gerade g zum Punkt P aus:
> [mm]\vec{X_{\lambda}P}= \vec{P}- \vec{X_{\lambda}}=\vektor{5 - 2 - 2\lambda \\3 - 5 + 2\lambda \\ 3 - 1 -1\lambda} =\vektor{3 - 2\lambda \\-2 + 2\lambda \\ 2 -1\lambda}[/mm]
>
> jetzt skalar multipliziert man [mm]\vec{X_{\lambda}P}[/mm] mit dem
> Richtungsvektor von [mm]\lambda[/mm] welche zusammen 0 ergeben
> müssen, da der Winkel von cos = 90°sein muss damit ein Lot
> gefällt wird - und diese 90° hat cos bei 0!
>
> [mm]\vec{X_{\lambda}P}\circ\vec{\lambda}=[/mm] 0
> => [mm](3-2\lambda)2+(-2+2\lambda)(-2)+(2-1\lambda)1=[/mm] 0
> => [mm]6-4\lambda+4-4\lambda+2-1\lambda[/mm] = 0
> => 12 - [mm]9\lambda=0[/mm]
> => [mm]\lambda[/mm] = - [mm]\bruch{4}{3}[/mm]
>
> [mm]\lambda[/mm] setzt man nun in [mm]\vec{X_{\lambda}P}[/mm] ein:
> [mm]\vec{X_{\lambda}P}= \vektor{3 - 2(-\bruch{4}{3}) \\-2 + 2(-\bruch{4}{3}) \\ 2 -1(-\bruch{4}{3})}[/mm]
> = [mm]\vektor{5\bruch{2}{3}\\-4\bruch{2}{3}\\ 3\bruch{1}{3}}=\bruch{1}{3}\vektor{ 17\\ -14\\ 10}[/mm]
>
> [mm]\vec{X_{\lambda}P}[/mm] = [mm]\vec{FP}[/mm] wobei F der Lotpunkt auf der
> Geraden g ist!
>
> Jetzt rechnet man den Einheitsvektor von [mm]\vec{X_{\lambda}P}[/mm]
> aus:
> [mm]|\vec{X_{\lambda}P}|= \wurzel{ 17^2 - 14^2 + 10^2}[/mm] =
> [mm]\wurzel{585}[/mm] = 24,18
>
> d(P,g) = 24,18
>
> Um den Lotpunkt F zu erhalten muss man [mm]\lambda[/mm] in g
> einsetzten:
> [mm]\vec{X_{\lambda}}= \vektor{2 + 2(-\bruch{4}{3}) \\ 5 - 2(-\bruch{4}{3}) \\ 1 +1(-\bruch{4}{3})}= \vektor{-\bruch{2}{3} \\ 7\bruch{2}{3}) \\ -\bruch{1}{3})}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{3}\vektor{-2\\ 23 \\ -1}[/mm] = F
>
> Ich habe zwar das Gefühl, dass es richtig sein könnte, aber
> die Ergebnisse machen mich unsicher.
Hallo Susi,
das sieht nach einer sorgfältigen Rechnung aus, die
ich aber nicht im Einzelnen durchgesehen habe.
Du stellst deine Überlegungen klar dar !
Trotzdem ist die Lösung wohl falsch. Was du
berechnet hast, ist nämlich nur der Fusspunkt F
des Lotes von einem fest gewählten Punkt [mm] P\in [/mm] h
auf die Gerade g. Dieses Lot steht dann zwar auf g
senkrecht - aber die gesuchte kürzeste Transversale
sollte auch auf h senkrecht stehen.
Wenn du also mit der gewählten Methode (mit
Skalarprodukten) zum Ziel kommen willst, müsstest
du einen allgemeinen Punkt [mm] X_{\lambda}\in [/mm] g und
einen allgemeinen Punkt [mm] Y_{\mu}\in [/mm] h betrachten und
dafür sorgen, dass deren Verbindungsvektor [mm] \overrightarrow{X_{\lambda}Y_{\mu}}
[/mm]
zu den Richtungsvektoren von g und von h senkrecht ist.
Es gäbe allerdings weniger aufwendige Lösungswege
für diese Aufgabe. Deshalb die Fragen:
1.) kennst du das Vektorprodukt ?
2.) kennst du die Hessesche Normalenform ?
3.) kennst du eventuell das Spatprodukt ?
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 Sa 07.02.2009 | | Autor: | evils |
Erstmal danke für deine Antwort! :)
> Wenn du also mit der gewählten Methode (mit
> Skalarprodukten) zum Ziel kommen willst, müsstest
> du einen allgemeinen Punkt [mm]X_{\lambda}\in[/mm] g
den hab ich ja schon ausgerechnet..
> und einen allgemeinen Punkt [mm]Y_{\mu}\in[/mm] h betrachten
das ist ja dann theoretisch das gleiche nur andersrum..
> und dafür sorgen, dass deren Verbindungsvektor
> [mm]\overrightarrow{X_{\lambda}Y_{\mu}}[/mm]
> zu den Richtungsvektoren von g und von h senkrecht ist.
das heißt ja nur, dass ich dann
[mm]\overrightarrow{X_{\lambda}Y_{\mu}}[/mm] [mm] \circ[/mm] [mm]\overrightarrow{{\lambda}}[/mm]=0
[mm]\overrightarrow{X_{\lambda}Y_{\mu}}[/mm] [mm] \circ[/mm] [mm]\overrightarrow{{\mu}}[/mm]=0
und wenn bei beiden das gleiche rauskommt stimmt das dann?!
ist das nicht genau genommen einfach der Beweis?
>
> Es gäbe allerdings weniger aufwendige Lösungswege
> für diese Aufgabe. Deshalb die Fragen:
>
> 1.) kennst du das Vektorprodukt ?
> 2.) kennst du die Hessesche Normalenform ?
> 3.) kennst du eventuell das Spatprodukt ?
Ich denke, dass wir diese drei Dinge in den nächsten Stunden lernen werden! Hab also leider noch keine Ahnung davon :)
> LG Al-Chwarizmi
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> Erstmal danke für deine Antwort! :)
>
> > Wenn du also mit der gewählten Methode (mit
> > Skalarprodukten) zum Ziel kommen willst, müsstest
> > du einen allgemeinen Punkt [mm]X_{\lambda}\in[/mm] g
>
> den hab ich ja schon ausgerechnet.. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
klar !
> > und einen allgemeinen Punkt [mm]Y_{\mu}\in[/mm] h betrachten
>
> das ist ja dann theoretisch das gleiche nur andersrum..
>
> > und dafür sorgen, dass deren Verbindungsvektor [mm]\overrightarrow{X_{\lambda}Y_{\mu}}[/mm]
> > zu den Richtungsvektoren von g und von h senkrecht ist.
>
> das heißt ja nur, dass ich dann
> [mm]\overrightarrow{X_{\lambda}Y_{\mu}}\circ\overrightarrow{{\lambda}}[/mm]=0
> [mm]\overrightarrow{X_{\lambda}Y_{\mu}}\circ\overrightarrow{{\mu}}[/mm]=0
>
> und wenn bei beiden das gleiche rauskommt stimmt das dann?!
> ist das nicht genau genommen einfach der Beweis?
Diese beiden Gleichungen bilden ein Gleichungssystem,
aus welchen man [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] berechnen kann.
Diese führen zu den beiden Endpunkten der
kürzesten Transversale. Ihr Abstand ist gleich dem
(kürzesten) Abstand der beiden Geraden.
> > Es gäbe allerdings weniger aufwendige Lösungswege
> > für diese Aufgabe. Deshalb die Fragen:
> >
> > 1.) kennst du das Vektorprodukt ?
> > 2.) kennst du die Hessesche Normalenform ?
> > 3.) kennst du eventuell das Spatprodukt ?
> Ich denke, dass wir diese drei Dinge in den nächsten
> Stunden lernen werden! Hab also leider noch keine Ahnung
> davon :)
Dann empfehle ich dir, die obige Rechnung durchzu-
führen. Dann wirst du später umso mehr schätzen,
was die anderen Methoden an Vereinfachungen bringen !
LG Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:02 Mo 16.02.2009 | | Autor: | evils |
Danke dir für deine Hilfe!
Ich hab erst im Nachhinein bemerkt, dass die beiden Geraden parallel sind.. also würde die erste Variante genügen..
das Ergebnis von oben [mm] \lambda [/mm] = [mm] -\bruch{4}{3} [/mm] ist richtig
aber beim Rest hab ich mich wohl verrechnet..
Endergebnis für d(P,g) bzw. d(h,g) = 1
:) danke nochmal!
lg
Susi
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