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hallo,
ich hab' in letzter Zeit nach einer Formel für den Abstand zweier Punkte auf einer Kugel gesucht,
aber keine gefunden.
Die Punkte sind als Koordinaten im polaren koordinatensystem angegeben und gefragt ist der Abstand auf der Oberfläche.
Dann hab' ich mir kurzerhand selber gedanken gemacht und bin nach einigen Umformungen auf folgendes gekommen:
geg.: [mm] P1(\alpha_{1},\beta_{1}), P2(\alpha_{2},\beta_{2}), [/mm] r
ges.: w
(also den weg schreib ich nicht auf, das ist mir zu eklig)
w = [mm] arccos(cos(\alpha_{1})*cos(\beta_{1})*cos(\alpha_{2})*cos(\beta_{2})+sin(\alpha_{1})*cos(\beta_{1})*sin(\alpha_{2})*cos(\beta_{2})+sin(\beta_{1})*sin(\beta_{2}))
[/mm]
das ganze könnte man dann durch ausklammern und additionstheorem nochmal etwas verändern,
allerdings weiß ich nicht, ob es anders noch kürzer ginge:
w = [mm] arccos(cos(\beta_{1})*cos(b_{2})(cos(\alpha_{1})*cos(\alpha_{2})+sin(\alpha_{1})*sin(\alpha_{2}))+sin(\beta_{1})*sin(\beta_{2}))
[/mm]
w = [mm] arccos(cos(\beta_{1})*cos(\beta_{2})(cos(\alpha_{1}+\alpha_{2}))+sin(\beta_{1})*sin(\beta_{2}))
[/mm]
hat jemand vielleicht irgendwo in nem Buch eine Formel, oder ne gute Idee zum weiteren Zusammenfassen?
^^
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo nowhereman,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> ich hab' in letzter Zeit nach einer Formel für den Abstand
> zweier Punkte auf einer Kugel gesucht,
> aber keine gefunden.
Hast du auch schon die Wikipedia befragt? Dort findet man ja ziemlich viele Herleitungen.
> Die Punkte sind als Koordinaten im polaren
> koordinatensystem angegeben und gefragt ist der Abstand auf
> der Oberfläche.
> Dann hab' ich mir kurzerhand selber gedanken gemacht und
> bin nach einigen Umformungen auf folgendes gekommen:
> geg.: [mm]P1(\alpha_{1},\beta_{1}), P2(\alpha_{2},\beta_{2}),[/mm]
> r
> ges.: w
>
> (also den weg schreib ich nicht auf, das ist mir zu
> eklig)
>
> w = [mm]arccos(cos(\alpha_{1})*cos(\beta_{1})*cos(\alpha_{2})*cos(\beta_{2})+sin(\alpha_{1})*cos(\beta_{1})*sin(\alpha_{2})*cos(\beta_{2})+sin(\beta_{1})*sin(\beta_{2}))
[/mm]
>
> das ganze könnte man dann durch ausklammern und
> additionstheorem nochmal etwas verändern,
> allerdings weiß ich nicht, ob es anders noch kürzer
> ginge:
>
> w = [mm]arccos(cos(\beta_{1})*cos(b_{2})(cos(\alpha_{1})*cos(\alpha_{2})+sin(\alpha_{1})*sin(\alpha_{2}))+sin(\beta_{1})*sin(\beta_{2}))
[/mm]
> w = [mm]arccos(cos(\beta_{1})*cos(\beta_{2})(cos(\alpha_{1}+\alpha_{2}))+sin(\beta_{1})*sin(\beta_{2}))[/mm]
>
> hat jemand vielleicht irgendwo in nem Buch eine Formel,
> oder ne gute Idee zum weiteren Zusammenfassen?
>
Eine Idee für diesen Ausdruck habe ich auch nicht, aber vielleicht könnte man schon voher in deiner Ableitung anders zusammenfassen?
Da du uns aber deinen Weg nicht verrätst, kann ich dir auch keinen Tip geben.
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Bei wikipedia hab ich auch gesucht, aber nichts passendes gefunden, genau wie im restlichen Internet.
Meine Herleitung ist wie folgt:
zuerst Stelle ich die beiden Punkte als Raumkoordinaten dar:
[mm] x_{i} [/mm] = [mm] cos(\alpha_{i}) [/mm] * [mm] cos(\beta_{i}) [/mm] * r
[mm] y_{i} [/mm] = [mm] sin(\alpha_{i}) [/mm] * [mm] cos(\beta_{i}) [/mm] * r
[mm] z_{i} [/mm] = [mm] sin(\beta_{i}) [/mm] * r
dann ersetze ich zur Vereinfachung:
[mm] A_{i} [/mm] = [mm] sin(\alpha_{i})
[/mm]
[mm] B_{i} [/mm] = [mm] sin(\beta_{i})
[/mm]
[mm] G_{i} [/mm] = [mm] cos(\alpha_{i})
[/mm]
[mm] D_{i} [/mm] = [mm] cos(\beta_{i})
[/mm]
nach dem S.d.Pythagoras gilt:
s = [mm] \wurzel{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}}
[/mm]
s ist dabei die Sehne zwischen den Punkten, also der Abstand im Raum
Nun gilt im dreieck, das die Sehne als eine und die Radien der beiden Punkte in unserer Kugel als beide anderen Seiten hat, nach Kosinussatz:
[mm] s^{2} [/mm] = [mm] r^{2} [/mm] + [mm] r^{2} [/mm] - [mm] 2rr*cos(\lambda)
[/mm]
Wobei [mm] \lambda [/mm] = w \ r
Also:
[mm] 2r^{2}*cos(w/r) [/mm] = [mm] 2r^{2}-s^{2}
[/mm]
w = r * [mm] arccos(\bruch{2r^{2}}{2r^{2}}-\bruch{s^{2}}{2r^{2}})
[/mm]
aus dem zweitem Bruch kürzt sich x raus, also nach einsetzen:
w = r * [mm] arccos(1-\bruch{1}{2}((G_{1}D_{1}-G_{2}D_{2})^{2}+(A_{1}D_{1}-A_{2}D_{2})^{2}+(B_{1}-B_ {2})^{2}))
[/mm]
= r * [mm] arccos(1-\bruch{1}{2}(G_{1}^{2}D_{1}^{2}-2G_{1}D_{1}G_{2}D_{2}+G_{2}^{2}D_{2}^{2}+A_{1}^{2}D_{1}^{2}-2A_{1}D_{1}A_{2}D_{2}+A_{2}^{2}D_{2}^{2}+B_{1}^{2}-2B_{1}B_{2}+B_{2}^{2}))
[/mm]
= r * [mm] arccos(1-\bruch{1}{2}(D_{1}^{2}(G_{1}^{2}+A_{1}^{2})+D_{2}^{2}(G_{2}^{2}+A_{2}^{2})-2G_{1}D_{1}G_{2}D_{2}-2A_{1}D_{1}A_{2}D_{2}+B_{1}^{2}-2B_{1}B_{2}+B_{2}^{2}))
[/mm]
= r * [mm] arccos(1-\bruch{1}{2}((D_{1}^{2}+B_{1}^{2})+(D_{2}^{2}+B_{2}^{2})-2(G_{1}D_{1}G_{2}D_{2}+A_{1}D_{1}A_{2}D_{2}+B_{1}B_{2})))
[/mm]
= r * [mm] arccos(G_{1}D_{1}G_{2}D_{2}+A_{1}D_{1}A_{2}D_{2}+B_{1}B_{2})
[/mm]
und dann halt zurückersetzen und evtl. den letzten Schritt, den ich schon beschrieben hab:
w = [mm] arccos(cos(\alpha_{1})*cos(\beta_{1})*cos(\alpha_{2})*cos(\beta_{2})+sin(\alpha_{1})*cos(\beta_{1})*sin(\alpha_{2})*cos(\beta_{2})+sin(\beta_{1})*sin(\beta_{2}))
[/mm]
w = [mm] arccos(cos(\beta_{1})*cos(b_{2})(cos(\alpha_{1})*cos(\alpha_{2})+sin(\alpha_{1})*sin(\alpha_{2}))+sin(\beta_{1})*sin(\beta_{2}))
[/mm]
w = [mm] arccos(cos(\beta_{1})*cos(\beta_{2})(cos(\alpha_{1}+\alpha_{2}))+sin(\beta_{1})*sin(\beta_{2}))
[/mm]
Also ich wüsste nicht, wo ich anders zusammenfassen würde, aber vielleicht habt ihr ja noch ne Idee.
PS:Ich wusste leider nicht wo ich für deine Antwort einstellen kann, dass sie eigentlich nicht das Problem löst.
Deshalb hab' ich sie mal als Fehlerhaft markiert. Ich denke Kommentar wäre besser als Antwort gewesen...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:31 Di 15.02.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber nowhereman
>
> Meine Herleitung ist wie folgt:
>
> zuerst Stelle ich die beiden Punkte als Raumkoordinaten
> dar:
>
> [mm]x_{i}[/mm] = [mm]cos(\alpha_{i})[/mm] * [mm]cos(\beta_{i})[/mm] * r
> [mm]y_{i}[/mm] = [mm]sin(\alpha_{i})[/mm] * [mm]cos(\beta_{i})[/mm] * r
> [mm]z_{i}[/mm] = [mm]sin(\beta_{i})[/mm] * r
>
> dann ersetze ich zur Vereinfachung:
> [mm]A_{i}[/mm] = [mm]sin(\alpha_{i})
[/mm]
> [mm]B_{i}[/mm] = [mm]sin(\beta_{i})
[/mm]
> [mm]G_{i}[/mm] = [mm]cos(\alpha_{i})
[/mm]
> [mm]D_{i}[/mm] = [mm]cos(\beta_{i})
[/mm]
>
> nach dem S.d.Pythagoras gilt:
> s =
> [mm]\wurzel{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}}
[/mm]
> s ist dabei die Sehne zwischen den Punkten, also der
> Abstand im Raum
>
> Nun gilt im dreieck, das die Sehne als eine und die Radien
> der beiden Punkte in unserer Kugel als beide anderen Seiten
> hat, nach Kosinussatz:
>
> [mm]s^{2}[/mm] = [mm]r^{2}[/mm] + [mm]r^{2}[/mm] - [mm]2rr*cos(\lambda)
[/mm]
> Wobei [mm]\lambda[/mm] = w \ r
>
Das verstehe ich nicht ganz! Ist aber auch egal, da es weiter unten wieder stimmt.
> Also:
> [mm]2r^{2}*cos(w/r)[/mm] = [mm]2r^{2}-s^{2}
[/mm]
> w = r *
> [mm]arccos(\bruch{2r^{2}}{2r^{2}}-\bruch{s^{2}}{2r^{2}})
[/mm]
>
> aus dem zweitem Bruch kürzt sich x raus, also nach
> einsetzen:
> w = r *
> [mm]arccos(1-\bruch{1}{2}((G_{1}D_{1}-G_{2}D_{2})^{2}+(A_{1}D_{1}-A_{2}D_{2})^{2}+(B_{1}-B_ {2})^{2}))
[/mm]
>
> = r *
> [mm]arccos(1-\bruch{1}{2}(G_{1}^{2}D_{1}^{2}-2G_{1}D_{1}G_{2}D_{2}+G_{2}^{2}D_{2}^{2}+A_{1}^{2}D_{1}^{2}-2A_{1}D_{1}A_{2}D_{2}+A_{2}^{2}D_{2}^{2}+B_{1}^{2}-2B_{1}B_{2}+B_{2}^{2}))
[/mm]
> = r *
> [mm]arccos(1-\bruch{1}{2}(D_{1}^{2}(G_{1}^{2}+A_{1}^{2})+D_{2}^{2}(G_{2}^{2}+A_{2}^{2})-2G_{1}D_{1}G_{2}D_{2}-2A_{1}D_{1}A_{2}D_{2}+B_{1}^{2}-2B_{1}B_{2}+B_{2}^{2}))
[/mm]
> = r *
> [mm]arccos(1-\bruch{1}{2}((D_{1}^{2}+B_{1}^{2})+(D_{2}^{2}+B_{2}^{2})-2(G_{1}D_{1}G_{2}D_{2}+A_{1}D_{1}A_{2}D_{2}+B_{1}B_{2})))
[/mm]
> = r *
> [mm]arccos(G_{1}D_{1}G_{2}D_{2}+A_{1}D_{1}A_{2}D_{2}+B_{1}B_{2})
[/mm]
>
> und dann halt zurückersetzen und evtl. den letzten Schritt,
> den ich schon beschrieben hab:
> w =
> [mm]arccos(cos(\alpha_{1})*cos(\beta_{1})*cos(\alpha_{2})*cos(\beta_{2})+sin(\alpha_{1})*cos(\beta_{1})*sin(\alpha_{2})*cos(\beta_{2})+sin(\beta_{1})*sin(\beta_{2}))
[/mm]
> w =
> [mm]arccos(cos(\beta_{1})*cos(b_{2})(cos(\alpha_{1})*cos(\alpha_{2})+sin(\alpha_{1})*sin(\alpha_{2}))+sin(\beta_{1})*sin(\beta_{2}))
[/mm]
> w =
> [mm]arccos(cos(\beta_{1})*cos(\beta_{2})(cos(\alpha_{1}+\alpha_{2}))+sin(\beta_{1})*sin(\beta_{2}))
[/mm]
Ein kleiner Fehler hat sich noch eingeschlichen: es sollte in der Summenformel ein Minus sein, nicht ein Plus. Also so:
[mm] $\arccos(\cos(\beta_{1})*\cos(\beta_{2})*\cos(\alpha_{1}-\alpha_{2})+\sin(\beta_{1})*\sin(\beta_{2}))$
[/mm]
>
> Also ich wüsste nicht, wo ich anders zusammenfassen würde,
> aber vielleicht habt ihr ja noch ne Idee.
>
Nein, ich sehe auch nichts Vernünftigeres. Aber das ist doch recht gut!!
Ich hätte die Herleitung aber einfacher über das Skalarprodukt gemacht!
> PS:Ich wusste leider nicht wo ich für deine Antwort
> einstellen kann, dass sie eigentlich nicht das Problem
> löst.
> Deshalb hab' ich sie mal als Fehlerhaft markiert. Ich
> denke Kommentar wäre besser als Antwort gewesen...
>
Nein, das Beste ist, einfach eine weitere Frage zu stellen!
Jetzt habe ich aber noch eine Frage: War wirklich der räumliche Abstand gesucht? Nicht etwa der Abstand entlang eines Grosskreises? Ein Schiff kann ja, zumindestens nach meinem bescheidenen Wissensstand, nicht quer durch die Erde durchdringen!
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:56 Mi 16.02.2005 | | Autor: | nowhereman |
Ja, das mit dem Minus und Plus hab' ich natürlich vertauscht.
Allerdings dachte ich, dass ich schon den Abstand auf dem Großkreis ermittelt habe:
>>Nun gilt im dreieck, das die Sehne als eine und die Radien
>> der beiden Punkte in unserer Kugel als beide anderen Seiten
>> hat, nach Kosinussatz:
>>
>> [mm] s^{2} [/mm] = [mm] r^{2} [/mm] + [mm] r^{2} [/mm] - [mm] 2rr*cos(\lambda)
[/mm]
>> Wobei [mm] \lambda [/mm] = w/r
Das Dreieck ist das Dreieck, das von den beiden Punkten [mm] (P_{1} [/mm] und [mm] P_{2}) [/mm] und dem Mittelpunkt der Kugel gebildet wird! Der kosinussatz bringt uns zum Mittelpunktswinkel. Dieser (in Bogenmaß) mit dem Radius multipliziert ergibt die Länge des Abstands auf dem Großkreis. (nach Definiton Bogenmaß)
Ist das jetzt etwas besser verständlich?
mfg nowhereman
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hallo
das ist ein problem das auch in der navigation auftritt
schau mal hier
![[]](/images/popup.gif) Navigation
oder hier
Navigation
Gruss
Eberhard
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:05 So 13.02.2005 | | Autor: | nowhereman |
Also im ersten ist es schon fast in der Form, in der ich es auch habe, nur dass ganz zum schluss anders ausgeklammert und mit additionstheorem zusammengefasst wurde. das zweite ist dagegen noch ziemlich umständlich.
Anscheinend gibt es also keine einfachere Form...
Wenn jemandem doch noch eine einfällt, bitte sofort hier posten!
auf jedenfall Vielen Dank den beiden Helfern
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:29 Mo 14.02.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
sieh hier nach oder allgemein unter "spärischer Geometrie"
http://members.aol.com/gerhardgeller/content/rite0410.html
noch besser die pdf datei spärischer Geometrie bei:
http://www.math.ethz.ch/~knus/geometrie/geometrie.html
Gruss leduart
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Aber trotzdem: über das Skalarprodukt geht es einfacher, als über den Kosinussatz. Die ganzen Wurzeln entfallen dann! 
