Abstand zwischenPunkt u. Ebene < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 So 13.03.2005 | | Autor: | milkaa |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich muss leider gestehen, dass ich mich mit der Seite noch nicht so gut auskenne, aber ich hoffe, dass man mein Problem nachvollziehen kann.
Also, gegeben sind die Punkte A(3/3/2), B(5/3/0) und C(3/5/0)
Die Aufgabe lautet, dass ich den Abstand des Punktes O(0/0/0) von der Ebene durch A,B,C bestimmen soll.
Also habe ich in meinem ersten Ansatz die Ebengleichung aufgestellt.
Diese lautet e:
[mm] \vektor{3 \\ 3 \\ 2} [/mm] + t* [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ -2} [/mm] + s* [mm] \vektor{0 \\ 2 \\-2}
[/mm]
Ich weiß auch, dass ich zur Berechnung des Abstands nun die HNF benötige. Allerdings weiß ich nicht, wie ich diese aus dieser Parameterform bekomme.
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte.
Liebe Grüße milkaa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:17 So 13.03.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo milkaa
Du mußt die Ebene in die Koordinatendarstellung umrechnen.
Also Normelnvektor bestimmen
[mm] \overrightarrow{n}=\vektor{2 \\ 0 \\ -2}\times \vektor{0 \\ 2 \\ -2}
[/mm]
und diesen dann in die folgende Gleichung einsetzen
E: [mm] \overrightarrow{n}*[ \vektor{x \\ y \\ z}-\vektor{3 \\ 3 \\ 2}]=0
[/mm]
Um dann die HESSEsche Normalenform zu erhalten , mußt du die Koordinatendarstellung durch den Betrag des Normalenvektors teilen.
Jetzt fang erstmal an , und dann schauen wir mal wie weit du kommst
Gruß Fabian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 So 13.03.2005 | | Autor: | milkaa |
Erstmal Danke für deine Hilfe!
Also, ich weiß nicht, aber ich stehe wohl ein bisschen auf dem Schlauch. Ich muss also versuchen den Normalenvektor zu bestimmen. Also habe ich die beiden Vektoren [mm] \vektor{2 \\ 0 \\-2} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ -2} [/mm] in folgendes Gleichungssystem gebracht:
2 x - 2z=0
2y-2z=0
wenn ich die erste Zeile nach x auflöse erhalte ich aber x=z. Eherlich gesagt weiß ich nicht, wie ich damit umgehen soll? Kann ich mir eine Zahl aussuchen, um das Gleichungssystem zu lösen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 So 13.03.2005 | | Autor: | milkaa |
Also gut...
Ich muss gestehen, dass ich von dem Vektorprodukt noch nichts gehört habe. Wie auch immer, ich habe es nun dennoch versucht zu bilden und komme so auf die Normalenform
[ [mm] \vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{3 \\ 3 \\ 2} [/mm] ]* [mm] \vektor{4 \\ 4 \\ 4} [/mm]
Es tut mir leid, dass ich noch immer nicht weiß, wie ich weiterkomme. Aber nun miss ich doch den Punt (0/0/0) einsetzen. Mache ich das nun für [mm] \vec{x} [/mm] aus der dieser Gleichung? Oder ist es notwendih erst noch in Koordinatenform unzuwandeln?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 So 13.03.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo
jetzt würd ich erstmal ausmultiplizieren:
E: 4x+4y+4z-32=
Und jetzt durch den Betrag des Normalenvektors teilen:
[mm] d_{E,0}=\bruch{4x+4y+4z-32}{\wurzel{48}}
[/mm]
Jetzt mußt du nur noch deinen Punkt einsetzen
In deinem Fall geht es aber auch schneller:
E: [mm] \bruch{4}{\wurzel{48}}*x+\bruch{4}{\wurzel{48}}*y+\bruch{4}{\wurzel{48}}*z=\bruch{32}{\wurzel{48}}
[/mm]
und [mm] d=\bruch{32}{\wurzel{48}} [/mm] ist der Abstand der Ebene zum Nullpunkt
Alles klar?
Gruß Fabian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:53 So 13.03.2005 | | Autor: | milkaa |
Vielen, vielen Dank für deine Antwort. Ich denke jetzt ist alles klar.
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Vektorprodukt