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Forum "Längen, Abstände, Winkel" - Abstand zwischen Geraden
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Abstand zwischen Geraden: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:27 Mi 08.12.2010
Autor: krueemel

Aufgabe
Zwei Masseteilchen bewegen sich auf geraden Flugbahnen mit konstanter individueller Geschwindigkeit im Raum. teilchen A befindet sich zum Zeitpunkt t=0 am Punkt P1 (2;2;5) und wird zum Zeitpunkt t=2 Punkt P2 (4;10;11) erreichen.
Das andere Teilchen befindet sich zum Zeitpunkt t=0 auf dem Punkt P3 (-3; -2; -3) und eine Zeiteinheit später bei P4 (0; 2; 0).
Berechnen Sie den minimalen Abstand für t [mm] \ge [/mm] 0.

Meine Idee:
(1) Bewegungsgeraden bestimmen
(2) Orthogonalen dazu bestimmen
(3) Minimalen Abstand berechnen

zu (1)
v1 = [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 5} [/mm] + [mm] t*\vektor{2 \\ 8 \\ 6} [/mm]
v2 = [mm] \vektor{-3 \\ -2 \\ -3} [/mm] + [mm] s*\vektor{3 \\ 4 \\ 3} [/mm]

doch wie bestimme ich nun dazu die passenden Orthogonalen? (Ist meine Idee überhaupt richtig?)

vielen Dank :)

        
Bezug
Abstand zwischen Geraden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:51 Mi 08.12.2010
Autor: reverend

Hallo krueemel,

es sieht nicht so aus, als ob es um den minimalen Abstand der beiden Flugbahnen, sondern um den minimalen Abstand der beiden Teilchen geht.

> Berechnen Sie den minimalen Abstand für t [mm]\ge[/mm] 0.

>

> Meine Idee:
> (1) Bewegungsgeraden bestimmen [ok]
> (2) Orthogonalen dazu bestimmen [haee]
> (3) Minimalen Abstand berechnen [...]
>
> zu (1)
> v1 = [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ 5}[/mm] + [mm]t*\vektor{2 \\ 8 \\ 6}[/mm]

Als Gerade ist das zwar ok, aber Du hast nicht berücksichtigt, dass ja auch eine Geschwindigkeit angegeben ist (innerhalb von 2 Sekunden...).

Besser also: [mm] g_1:\ \vec{x_1}=\vektor{2\\2\\5}+t*\vektor{1\\4\\3} [/mm]

Außerdem würde ich in der Physik eine Gerade nicht mit [mm] v_1 [/mm] bezeichnen. Das klingt doch zu sehr nach Geschwindigkeit.


> v2= [mm]\vektor{-3 \\ -2 \\ -3}[/mm] + [mm]s*\vektor{3 \\ 4 \\ 3}[/mm]

Hilfreich ist es, den gleichen Parameter zu nehmen (hier ja sowieso t, die Zeit, in Sekunden gemessen). Also:

[mm] g_2:\ \vec{x_2}=\vektor{-3\\-2\\-3}+t*\vektor{3\\4\\3} [/mm]

Wenn Du jetzt [mm] \vec{x_1} [/mm] und [mm] \vec{x_2} [/mm] als [mm] \vec{x_1}(t), \vec{x_2}(t) [/mm] auffasst, kommst Du mit Deiner Abstandsberechnung schnell weiter.

Grüße
reverend

PS: Wenn es um die Geraden und nicht die Teilchen ginge, bräuchtest Du einen Vektor, der zu beiden Richtungsvektoren orthogonal ist. Den findet man mit dem Kreuz- oder Vektorprodukt.

Bezug
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